El lema de Whitehead

El lema de Whitehead es un resultado técnico en álgebra abstracta utilizado en la teoría K algebraica . Afirma que una matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}}$

es equivalente a la matriz identidad mediante transformaciones elementales (es decir, transvecciones):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}=e_{21}(u^{-1})e_{12}(1-u)e_{21}(-1)e_{12}(1-u^{-1}).}$

Aquí,${\displaystyle e_{ij}(s)}$indica una matriz cuyo bloque diagonal es${\displaystyle 1}$y${\displaystyle ij}$-la entrada es${\displaystyle s}$.

El nombre "lema de Whitehead" también se refiere al resultado estrechamente relacionado de que el grupo derivado del grupo lineal general estable es el grupo generado por matrices elementales . ^{[ 1 ] [ 2 ]} En símbolos,

${\displaystyle \operatorname {E} (A)=[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$.

Esto se cumple para el grupo estable (el límite directo de matrices de tamaño finito) sobre cualquier anillo , pero no en general para los grupos inestables, incluso sobre un cuerpo . Por ejemplo, para

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

uno tiene:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )]<\operatorname {E} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Sym} (3),}$

donde Alt(3) y Sym(3) denotan el grupo alternante y simétrico respectivamente en 3 letras.

• Grupo lineal especial#Relaciones con otros subgrupos de GL( n , A )