La geometría sin puntos de Whitehead

En matemáticas , la geometría sin puntos es una geometría cuya noción ontológica primitiva es la región , en lugar del punto . A continuación se exponen dos sistemas axiomáticos : uno basado en la mereología y el otro en la mereotopología , conocido como teoría de la conexión .

La geometría sin puntos fue formulada por primera vez por Alfred North Whitehead , ^{[ 1 ]} no como una teoría de la geometría o del espacio-tiempo , sino de "eventos" y de una " relación de extensión " entre eventos. Los propósitos de Whitehead eran tanto filosóficos como científicos y matemáticos. ^{[ 2 ]}

Whitehead no expuso sus teorías de una manera que satisficiera los cánones de formalidad actuales. Las dos teorías formales de primer orden descritas en esta entrada fueron ideadas por otros para aclarar y refinar las teorías de Whitehead. El dominio de discurso para ambas teorías consiste en "regiones". Todas las variables no cuantificadas en esta entrada deben tomarse como cuantificadas universalmente de forma tácita ; por lo tanto, todos los axiomas deben tomarse como cierres universales . Ningún axioma requiere más de tres variables cuantificadas; por lo tanto, es posible una traducción de las teorías de primer orden al álgebra de relaciones . Cada conjunto de axiomas tiene solo cuatro cuantificadores existenciales .

La relación binaria primitiva fundamental es la inclusión , denotada por el operador infijo "≤", que corresponde a la relación binaria de parte propia , característica estándar en las teorías mereológicas . El significado intuitivo de x ≤ y es " x es parte de y ". Suponiendo que la igualdad, denotada por el operador infijo "=", forma parte de la lógica subyacente, la relación binaria de parte propia , denotada por el operador infijo "<", se define como:

${\displaystyle x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).}$

Los axiomas son: ^{[ 3 ]}

• La inclusión ordena parcialmente el dominio .

G1.${\displaystyle x\leq x.}$ ( reflexivo )

G2.${\displaystyle (x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.}$ ( transitivo ) WP4 .

G3.${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.}$ ( antisimétrico )

• Dadas dos regiones cualesquiera, existe una región que las incluye a ambas. WP6 .

G4.${\displaystyle \exists z[x\leq z\land y\leq z].}$

• La parte propia ordena densamente el dominio . WP5 .

G5.${\displaystyle x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].}$

• No existen ni regiones atómicas ni una región universal . Por lo tanto, el dominio no tiene ni límite superior ni inferior. WP2 .

G6.${\displaystyle \exists y\exists z[y<x\land x<z].}$

• Principio de las partes propias. Si todas las partes propias de x son partes propias de y , entonces x está incluido en y . WP3 .

G7.${\displaystyle \forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.}$

Un modelo de G1–G7 es un espacio de inclusión .

Definición . ^{[ 4 ]} Dado un espacio de inclusión S, una clase abstractiva es una clase G de regiones tal que S\G está totalmente ordenado por inclusión. Además, no existe una región incluida en todas las regiones incluidas en G.

Intuitivamente, una clase abstracta define una entidad geométrica cuya dimensionalidad es menor que la del espacio de inclusión. Por ejemplo, si el espacio de inclusión es el plano euclidiano , entonces las clases abstractas correspondientes son puntos y líneas .

La geometría sin puntos basada en la inclusión (en adelante, "geometría sin puntos") es esencialmente una axiomatización del sistema W de Simons. ^{[ 5 ]} A su vez, W formaliza una teoría de Whitehead ^{[ 6 ]} cuyos axiomas no se explicitan. La geometría sin puntos es W con este defecto corregido. Simons no corrigió este defecto, sino que propuso en una nota al pie que el lector lo hiciera como ejercicio. La relación primitiva de W es la Parte Propia, un orden parcial estricto . La teoría ^{[ 7 ]} de Whitehead (1919) tiene una única relación binaria primitiva K definida como xKy ↔ y < x . Por lo tanto, K es la inversa de la Parte Propia. El WP1 de Simons afirma que la Parte Propia es irreflexiva y, por lo tanto, corresponde a G1 . G3 establece que la inclusión, a diferencia de la Parte Propia, es antisimétrica .

La geometría sin puntos está estrechamente relacionada con un orden lineal denso D , cuyos axiomas son G1-3 , G5 y el axioma de totalidad.${\displaystyle x\leq y\lor y\leq x.}$^{[ 8 ]} Por lo tanto, la geometría sin puntos basada en inclusiones sería una extensión adecuada deD(es decir,D∪{G4,G6,G7}), si no fuera porque laD"≤" es unorden total.

En Whitehead (1929) se propuso un enfoque diferente, inspirado en De Laguna (1922). Whitehead tomó como primitiva la noción topológica de "contacto" entre dos regiones, lo que resultó en una "relación de conexión" primitiva entre eventos. La teoría de la conexión C es una teoría de primer orden que destila los primeros 12 de los 31 supuestos de Whitehead ^{[ 9 ]} en 6 axiomas, C1-C6 . ^{[ 10 ]} C es un fragmento propio de las teorías propuestas por Clarke, ^{[ 11 ]} quien señaló su carácter mereológico . Las teorías que, como C , presentan primitivas tanto de inclusión como topológicas, se denominan mereotopologías .

C tiene una relación primitiva , la "conexión" binaria, denotada por la letra predicada prefijada C. Que x está incluido en y ahora se puede definir como x ≤ y ↔ ∀ z[ Czx → Czy ]. A diferencia del caso con espacios de inclusión, la teoría de la conexión permite definir la inclusión "no tangencial", ^{[ 12 ]} un orden total que permite la construcción de clases abstractivas. Gerla y Miranda (2008) argumentan que solo así la mereotopología puede definir un punto de manera inequívoca .

• C es reflexivo . C.1.

C1.${\displaystyle \ Cxx.}$

• C es simétrico . C.2.

C2.${\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.}$

• C es extensional . C.11.

C3.${\displaystyle \forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x=y.}$

• Todas las regiones tienen partes propias, por lo que C es una teoría sin átomos . Pág. 9.

C4.${\displaystyle \exists y[y<x].}$

• Dadas dos regiones cualesquiera, existe una región conectada a ambas.

C5.${\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}$

• Todas las regiones tienen al menos dos partes no conectadas. C.14.

C6.${\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}$

Un modelo de C es un espacio de conexión .

Tras la descripción verbal de cada axioma, se encuentra el identificador del axioma correspondiente en Casati y Varzi (1999). Su sistema SMT ( mereotopología fuerte ) consta de C1-C3 y se debe esencialmente a Clarke (1981). ^{[ 13 ]} Cualquier mereotopología puede hacerse sin átomos invocando C4 , sin riesgo de paradoja o trivialidad. Por lo tanto, C extiende la variante sin átomos de SMT mediante los axiomas C5 y C6 , sugeridos en el capítulo 2 de la parte 4 de Proceso y Realidad . ^{[ 14 ]}

Biacino y Gerla (1991) demostraron que todo modelo de la teoría de Clarke es un álgebra booleana , y que los modelos de dichas álgebras no pueden distinguir entre conexión y superposición. Es dudoso que alguno de estos hechos se ajuste a la intención de Whitehead.

• Topología sin sentido

• Biacino L., y Gerla G., 1991, " Estructuras de conexión ", Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
• Casati, R., y Varzi, AC, 1999. Partes y lugares: las estructuras de la representación espacial . MIT Press.
• Clarke, Bowman, 1981, " Un cálculo de individuos basado en la 'conexión' ", Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, " Individuos y puntos ", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Punto, línea y superficie como conjuntos de sólidos", The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, " Geometrías sin sentido " en Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos . North-Holland: 1015-31.
• --------, y Miranda A., 2008, " Inclusión y conexión en la geometría sin puntos de Whitehead ", en Michel Weber y Will Desmond, (eds.), Manual del pensamiento de procesos de Whitehead , Frankfurt / Lancaster, ontos verlag, Pensamiento de procesos X1 y X2.
• Gruszczynski R., y Pietruszczak A., 2008, « Desarrollo completo de la geometría de sólidos de Tarski », Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540. El artículo presenta un sistema geométrico sin puntos, originado a partir de las ideas de Whitehead y basado en la mereología de Lesniewski. También analiza brevemente la relación entre los sistemas geométricos sin puntos y los basados ​​en puntos. Asimismo, se presentan las propiedades básicas de las estructuras mereológicas.
• Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizabilidad de la geometría sin puntos", Synthese 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. Lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas . Reimpresión de Dover, 2001.
• Lucas, JR , 2000. Conceptual Roots of Mathematics . Routledge. El cap. 10, sobre "prototopología", analiza los sistemas de Whitehead y está fuertemente influenciado por los escritos inéditos de David Bostock .
• Roeper, P., 1997, "Topología basada en regiones", Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
• Simons, P., 1987. Partes: Un estudio de ontología . Oxford Univ. Press.
• Whitehead, AN , 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace", Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Traducido como Hurley, PJ, 1979, "La teoría relacional del espacio", Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Una investigación sobre los principios del conocimiento natural . Cambridge Univ. Press. 2.ª ed., 1925.
• --------, 1920. El concepto de naturaleza . Cambridge Univ. Press. Edición de bolsillo de 2004, Prometheus Books. Siendo las conferencias Tarner de 1919 impartidas en el Trinity College .
• --------, 1979 (1929). Proceso y realidad . Free Press.