Rotación de mechas

En física , la rotación de Wick , que recibe su nombre del físico italiano Gian Carlo Wick , es un método para encontrar la solución a un problema matemático en el espacio de Minkowski a partir de la solución a un problema relacionado en el espacio euclidiano mediante una transformación que sustituye una variable imaginaria por una variable real.

Las rotaciones de Wick son útiles debido a una analogía entre dos campos importantes pero aparentemente distintos de la física: la mecánica estadística y la mecánica cuántica . En esta analogía, la temperatura inversa juega un papel en la mecánica estadística formalmente similar al tiempo imaginario en la mecánica cuántica: es decir, $it$ , donde $t$ es el tiempo e $i$ es la unidad imaginaria ( $i 2 = -1$ ).

Más precisamente, en mecánica estadística, la medida de Gibbs $exp(- H / k B T)$ describe la probabilidad relativa de que el sistema se encuentre en cualquier estado dado a temperatura $T$ , donde $H$ es una función que describe la energía de cada estado y $k B$ es la constante de Boltzmann . En mecánica cuántica, la transformación $exp(- itH / ħ)$ describe la evolución temporal, donde $H$ es un operador que describe la energía (el hamiltoniano ) y $ħ$ es la constante de Planck reducida . La primera expresión se asemeja a la segunda cuando reemplazamos $it / ħ$ por $1/ k B T$ , y este reemplazo se denomina rotación de Wick. ^{[ 1 ]}

La rotación de Wick se denomina rotación porque, cuando representamos los números complejos como un plano , la multiplicación de un número complejo por la unidad imaginaria es equivalente a rotar en sentido antihorario el vector que representa ese número un ángulo de magnitud $π /2$ alrededor del origen. ^{[ 2 ]}

Los instantones son soluciones temporales con rotación de Wick para ciertos potenciales que permiten el cálculo de autoenergías y tasas de decaimiento.

Descripción general

La rotación de Wick está motivada por la observación de que la métrica de Minkowski en unidades naturales (con la convención de signatura métrica $(- + + +)$ )

ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

y la métrica euclidiana de cuatro dimensiones

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

son equivalentes si se permite que la coordenada $t$ tome valores imaginarios . La métrica de Minkowski se vuelve euclidiana cuando $t$ se restringe al eje imaginario , y viceversa. Tomar un problema expresado en el espacio de Minkowski con coordenadas $x$ , $y$ , $z$ , $t$ , y sustituir $t = -iτ a$ veces produce un problema en coordenadas euclidianas reales $x$ , $y$ , $z$ , $τ$ que es más fácil de resolver. Esta solución puede entonces, mediante sustitución inversa, producir una solución al problema original.

Mecánica estadística y cuántica

La rotación de Wick conecta la mecánica estadística con la mecánica cuántica reemplazando la temperatura inversa con el tiempo imaginario , o más precisamente reemplazando $1/ k B T$ con $it / ħ$ , donde $T$ es la temperatura, $k B$ es la constante de Boltzmann , $t$ es el tiempo y $ħ$ es la constante de Planck reducida .

Por ejemplo, consideremos un sistema cuántico cuyo hamiltoniano $H$ tiene autovalores $E j$ . Cuando este sistema está en equilibrio térmico a temperatura $T$ , la probabilidad de encontrarlo en su $j$ -ésimo autoestado de energía es proporcional a $exp(-$ $E$ $j$ $/$ $k$ $B$ $T$ $)$ . Por lo tanto, el valor esperado de cualquier observable $Q$ que conmuta con el hamiltoniano es, salvo una constante de normalización,

\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},

donde $j$ recorre todos los autoestados de energía y $Q j$ es el valor de $Q$ en el $j$ -ésimo autoestado.

Alternativamente, consideremos este sistema en una superposición de autoestados de energía , que evoluciona durante un tiempo $t$ bajo el hamiltoniano $H.$ Después del tiempo $t$ , el cambio de fase relativo del $j$ -ésimo autoestado es $exp(- E j it / ħ)$ . Por lo tanto, la amplitud de probabilidad de que una superposición uniforme (igualmente ponderada) de estados

|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle

evoluciona hacia una superposición arbitraria

|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle

es, salvo una constante de normalización,

\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.

Tenga en cuenta que esta fórmula se puede obtener a partir de la fórmula de equilibrio térmico reemplazando $1/ k B T$ con $it / ħ$ .

Estática y dinámica

La rotación de Wick relaciona problemas estáticos en $n$ dimensiones con problemas dinámicos en $n - 1$ dimensiones, intercambiando una dimensión espacial por una dimensión temporal. Un ejemplo sencillo, donde $n = 2$ , es un resorte colgante con extremos fijos en un campo gravitatorio. La forma del resorte es una curva $y (x)$ . El resorte está en equilibrio cuando la energía asociada a esta curva se encuentra en un punto crítico (un extremo); este punto crítico suele ser un mínimo, por lo que esta idea se conoce como el "principio de mínima energía". Para calcular la energía, integramos la densidad espacial de energía en el espacio:

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,

donde $k$ es la constante elástica y $V (y (x))$ es el potencial gravitatorio.

El problema dinámico correspondiente es el de una roca lanzada hacia arriba. La trayectoria que sigue la roca es aquella que extremaliza la acción ; como antes, este extremo suele ser un mínimo, por lo que se denomina el " principio de mínima acción ". La acción es la integral temporal del lagrangiano :

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V{\big (}y(t){\big )}\right]dt.

Obtenemos la solución al problema de la dinámica (hasta un factor de $i$ ) a partir del problema de la estática mediante la rotación de Wick, reemplazando $y (x)$ por $y (it)$ y la constante elástica $k$ por la masa de la roca $m$ :

iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dt}}\right)^{2}+V{\big (}y(it){\big )}\right]dt=i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V{\big (}y(it){\big )}\right]d(it).

Tanto térmico/cuántico como estático/dinámico

En conjunto, los dos ejemplos anteriores muestran cómo la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica se relaciona con la mecánica estadística. Según la mecánica estadística, la forma de cada resorte en un conjunto a temperatura $T$ se desviará de la forma de mínima energía debido a las fluctuaciones térmicas; la probabilidad de encontrar un resorte con una forma dada disminuye exponencialmente con la diferencia de energía respecto a la forma de mínima energía. De manera similar, una partícula cuántica que se mueve en un potencial puede describirse mediante una superposición de trayectorias, cada una con una fase $exp(iS)$ : las variaciones térmicas en la forma a lo largo del conjunto se han convertido en incertidumbre cuántica en la trayectoria de la partícula cuántica.

Más detalles

La ecuación de Schrödinger y la ecuación del calor también están relacionadas por la rotación de Wick.

La rotación de Wick también relaciona una teoría cuántica de campos a una temperatura inversa finita $β$ con un modelo estadístico-mecánico sobre el "tubo" $R 3 \times S 1$ con la coordenada de tiempo imaginaria $τ$ siendo periódica con período $β$ . Sin embargo, hay una ligera diferencia. Las funciones $de n$ puntos estadístico-mecánicas satisfacen la positividad, mientras que las teorías cuánticas de campos rotadas por Wick satisfacen la positividad de reflexión .

Sin embargo, tenga en cuenta que la rotación de Wick no puede considerarse una rotación en un espacio vectorial complejo que esté equipado con la norma y la métrica convencionales inducidas por el producto interno , ya que en este caso la rotación se cancelaría y no tendría ningún efecto.

Resultados rigurosos

El teorema de Osterwalder-Schrader establece que, en una teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski que satisface los axiomas de Wightman , todas las funciones de correlación admiten una continuación analítica al espacio euclidiano. Además, si una teoría cuántica de campos euclidiana satisface tanto los axiomas de Wightman en el espacio euclidiano como una condición de crecimiento sobre las funciones de correlación, admite una continuación analítica al espacio de Minkowski. ^{[ 3 ]} La misma correspondencia también se ha demostrado en el contexto de los axiomas de Haag-Kastler . ^{[ 4 ]}

Aunque no se ha demostrado que los axiomas de Wightman se cumplan para teorías cuánticas de campos generales, se han verificado para teorías de campos libres y para varios casos especiales en dimensiones bajas. ^{[ 5 ]}

Véase también

Referencias

↑ Zee, Anthony (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2.ª ed.). Princeton University Press. pág. 289. ISBN 978-1-4008-3532-4.
↑ Lancaster, Tom; Blundell, Stephen J. (17 de abril de 2014), "Teoría estadística de campos" , Teoría cuántica de campos para aficionados talentosos , Oxford University Press, pp. 228–229 , doi : 10.1093/acprof:oso/9780199699322.003.0026 , ISBN 978-0-19-969932-2, consultado el 12 de noviembre de 2023
↑ Osterwalder, Konrad; Schrader, Robert (1975). " Axiomas para las funciones de Green euclidianas II" . Communications in Mathematical Physics . 42 (3). Springer Science and Business Media LLC: 281–305 . Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007/bf01608978 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119389461 .
↑ Schlingemann, Dirk (1999). "De la teoría de campos euclidiana a la teoría de campos cuántica" . Reviews in Mathematical Physics . 11 (9): 1151– 78. arXiv : hep-th/9802035 . Bibcode : 1999RvMaP..11.1151S . doi : 10.1142/S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X . S2CID 9851483 .
↑ Glimm, James; Jaffe, Arthur; Spencer, Thomas (1974). "Los axiomas de Wightman y la estructura de partículas en el modelo de campo cuántico P(φ)2" . Annals of Mathematics . 100 (3): 585– 632. doi : 10.2307/1970959 . ISSN 0003-486X .

Wick, GC (1954). "Propiedades de las funciones de onda de Bethe-Salpeter". Physical Review . 96 (4): 1124– 1134. Bibcode : 1954PhRv...96.1124W . doi : 10.1103/PhysRev.96.1124 .

Enlaces externos

Un resorte en tiempo imaginario : una hoja de trabajo sobre mecánica lagrangiana que ilustra cómo reemplazar la longitud por tiempo imaginario convierte la parábola de un resorte colgante en la parábola invertida de una partícula lanzada.
Gravedad euclidiana : una breve nota de Ray Streater sobre el programa "Gravedad euclidiana".

[1] Zee, Anthony (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2.ª ed.). Princeton University Press. pág. 289. ISBN 978-1-4008-3532-4.

[2] Lancaster, Tom; Blundell, Stephen J. (17 de abril de 2014), "Teoría estadística de campos" , Teoría cuántica de campos para aficionados talentosos , Oxford University Press, pp. 228–229 , doi : 10.1093/acprof:oso/9780199699322.003.0026 , ISBN 978-0-19-969932-2, consultado el 12 de noviembre de 2023

[Osterwalder_Schrader_1975-3] Osterwalder, Konrad; Schrader, Robert (1975). " Axiomas para las funciones de Green euclidianas II" . Communications in Mathematical Physics . 42 (3). Springer Science and Business Media LLC: 281–305 . Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007/bf01608978 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119389461 .

[4] Schlingemann, Dirk (1999). "De la teoría de campos euclidiana a la teoría de campos cuántica" . Reviews in Mathematical Physics . 11 (9): 1151– 78. arXiv : hep-th/9802035 . Bibcode : 1999RvMaP..11.1151S . doi : 10.1142/S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X . S2CID 9851483 .

[5] Glimm, James; Jaffe, Arthur; Spencer, Thomas (1974). "Los axiomas de Wightman y la estructura de partículas en el modelo de campo cuántico P(φ)2" . Annals of Mathematics . 100 (3): 585– 632. doi : 10.2307/1970959 . ISSN 0003-486X .

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