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aproximación de Wien

Comparación de la curva de Wien y la curva de Planck La aproximación de Wien (también llamada a veces ley de Wien o ley de distribución de Wien ) es una ley de la física que se ...

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Comparación de la curva de Wien y la curva de Planck

La aproximación de Wien (también llamada a veces ley de Wien o ley de distribución de Wien ) es una ley de la física que se utiliza para describir el espectro de la radiación térmica (frecuentemente denominada función de cuerpo negro ). Esta ley fue derivada por primera vez por Wilhelm Wien en 1896. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] La ecuación describe con precisión el espectro de longitud de onda corta (alta frecuencia ) de la emisión térmica de los objetos, pero no se ajusta con precisión a los datos experimentales para la emisión de longitud de onda larga (baja frecuencia). [ 3 ]

Detalles

Wien derivó su ley a partir de argumentos termodinámicos, varios años antes de que Planck introdujera la cuantización de la radiación. [ 1 ]

El artículo original de Wien no contenía la constante de Planck . [ 1 ] En este artículo, Wien tomó la longitud de onda de la radiación de cuerpo negro y la combinó con la distribución de energía de Maxwell-Boltzmann para átomos. La curva exponencial se creó utilizando el número de Euler e elevado a la potencia de la temperatura multiplicada por una constante. Max Planck introdujo posteriormente las constantes fundamentales . [ 4 ]

La ley puede escribirse como [ 5 ]I(ν,T)=2hν3do2mi−hνkBT,{\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}},} (nótese la dependencia exponencial simple de la frecuencia de esta aproximación) o, introduciendo unidades de Planck naturales , I(ν,incógnita)=2ν3mi−incógnita,{\displaystyle I(\nu ,x)=2\nu ^{3}e^{-x},} dónde:

Esta ecuación también puede escribirse como [ 3 ] [ 6 ]I(λ,T)=2hdo2λ5mi−hdoλkBT,{\displaystyle I(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}},} dóndeI(λ,T){\displaystyle I(\lambda ,T)}es la cantidad de energía por unidad de área superficial por unidad de tiempo por unidad de ángulo sólido por unidad de longitud de onda emitida a una longitud de onda λ . Wien reconoce en su artículo original que Friedrich Paschen le proporcionó la misma fórmula basándose en las observaciones experimentales de Paschen. [ 1 ]

El valor máximo de esta curva, determinado al igualar a cero la derivada de la ecuación y resolverla, [ 7 ] se produce en una longitud de onda λmáximo=hdo5kBT≈0,2878 dometro⋅KT,{\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{5k_{\text{B}}T}}\approx {\frac {\mathrm {0.2878~cm\cdot K} }{T}},} y frecuencia νmáximo=3kBTh≈6.25×1010 HzK⋅T.{\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {3k_{\text{B}}T}{h}}\approx \mathrm {6.25\times 10^{10}~{\frac {Hz}{K}}} \cdot T.}

Relación con la ley de Planck

La aproximación de Wien se propuso originalmente como una descripción del espectro completo de la radiación térmica, aunque no logró describir con precisión la emisión de longitud de onda larga (baja frecuencia). Sin embargo, pronto fue reemplazada por la ley de Planck , que describe con precisión el espectro completo, derivada al tratar la radiación como un gas de fotones y, en consecuencia, aplicar la estadística de Bose-Einstein en lugar de la de Maxwell-Boltzmann. La ley de Planck se puede expresar como [ 5 ].I(ν,T)=2hν3do21mihνkT−1.{\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}.}

La aproximación de Wien puede derivarse de la ley de Planck asumiendo quehν≫kT{\displaystyle h\nu \gg kT}. Cuando esto es cierto, entonces [ 5 ]1mihνkT−1≈1mihνkT=mi−hνkT,{\displaystyle {\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\approx {\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}}}=e^{-{\frac {h\nu }{kT}}},} y así la aproximación de Wien se acerca cada vez más a la ley de Planck a medida que aumenta la frecuencia. Albert Einstein utilizó esta propiedad en su teoría cuántica de la radiación de 1917 para establecer una relación entre los coeficientes que dan las tasas de emisión espontánea y emisión estimulada : [ 8 ]AbaBba∝ν3, (hν≫kT){\displaystyle {\frac {A_{ba}}{B_{ba}}}\propto \nu ^{3},\ (h\nu \gg kT)} dóndeAba{\displaystyle A_{ba}},Bba{\displaystyle B_{ba}}son los coeficientes de Einstein yν{\displaystyle \nu }es la frecuencia de la luz.

Otras aproximaciones de la radiación térmica

La ley de Rayleigh-Jeans desarrollada por Lord Rayleigh puede utilizarse para describir con precisión el espectro de longitud de onda larga de la radiación térmica, pero no logra describir el espectro de longitud de onda corta de la emisión térmica. [ 3 ] [ 5 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 Wien, W. (1897). "Sobre la división de la energía en el espectro de emisión de un cuerpo negro" (PDF) . Philosophical Magazine . Serie 5. 43 (262): 214– 220. doi : 10.1080/14786449708620983 .
  2. ↑ Mehra, J.; Rechenberg , H. (1982). El desarrollo histórico de la teoría cuántica . Vol. 1. Springer-Verlag . Capítulo 1. ISBN  978-0-387-90642-3.
  3. 1 2 3 4 Bowley, R.; Sánchez, M. (1999). Introducción a la mecánica estadística (2.ª ed.). Clarendon Press . ISBN  978-0-19-850576-1.
  4. ↑ Crepeau, J. (2009). "Una breve historia de la ley de radiación T4". Conferencia de verano de transferencia de calor de la ASME 2009. Vol. 1. ASME . págs. 59–65 . doi : 10.1115/HT2009-88060 . ISBN   978-0-7918-4356-7.
  5. 1 2 3 4 Rybicki, GB; Lightman, AP (1979). Procesos radiativos en astrofísica . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-82759-7.
  6. ↑ Modest, MF (2013). Transferencia de calor por radiación . Academic Press . págs. 9, 15. ISBN  978-0-12-386944-9.
  7. ↑ Irwin, JA (2007). Astrofísica: Descifrando el cosmos . John Wiley & Sons . pág. 130. ISBN  978-0-470-01306-9.
  8. ↑ Kleppner, Daniel (1 de febrero de 2005). "Releyendo a Einstein sobre la radiación" . Physics Today . 58 (2): 30– 33. Bibcode : 2005PhT....58b..30K . doi : 10.1063/1.1897520 . Consultado el 1 de junio de 2022 .
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