El lema de Wiener

En matemáticas, el lema de Wiener es una identidad bien conocida que relaciona el comportamiento asintótico de los coeficientes de Fourier de una medida de Borel en el círculo con su parte discreta. Este resultado admite una formulación análoga para medidas en la recta real . Fue descubierto por primera vez por Norbert Wiener . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Considere el espacio${\displaystyle M(\mathbb {T} )}$de todas las medidas de Borel complejas (finitas) en el círculo unitario${\displaystyle \mathbb {T} }$y el espacio${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$de funciones continuas en${\displaystyle \mathbb {T} }$como su espacio dual . Entonces${\displaystyle C(\mathbb {T} )\subset L^{p}(\mathbb {T} )}$a pesar de${\displaystyle 1\leq p<\infty }$y${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )\subset M(\mathbb {T} )}$. ^{[ 3 ]}

Dado${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {T} )}$, dejar $${\displaystyle \mu _{pp}=\sum _{j}c_{j}\delta _{z_{j}},}$$ ser su parte discreta (lo que significa que${\displaystyle \mu (\{z_{j}\})=c_{j}\neq 0}$y${\displaystyle \mu (\{z\})=0}$para${\displaystyle z\not \in \{z_{j}\}}$. Entonces $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2},}$$ dónde${\displaystyle {\widehat {\mu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }z^{-n}\,d\mu (z)}$es el${\displaystyle n}$-º coeficiente de Fourier-Stieltjes de${\displaystyle \mu }$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

De manera similar, en la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$, el espacio${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$es el espacio dual de${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$, funciones continuas que se anulan en el infinito y${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )\subset L^{p}(\mathbb {R} )}$a pesar de${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. ^{[ 6 ]}

Dado${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$, dejar $${\displaystyle \mu _{pp}=\sum _{j}c_{j}\delta _{x_{j}},}$$ su parte discreta. Entonces $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}|{\widehat {\mu }}(\xi )|^{2}\,d\xi =\sum _{j}|c_{j}|^{2},}$$ dónde${\displaystyle {\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi x}\,d\mu (x)}$es la transformada de Fourier-Stieltjes de${\displaystyle \mu }$. ^{[ 7 ]}

• En primer lugar, observamos que si${\displaystyle \nu }$es una medida compleja en el círculo entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }f_{N}(z)\,d\nu (z),}$

con${\displaystyle f_{N}(z)={\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}z^{-n}}$. La función${\displaystyle f_{N}}$está delimitado por${\displaystyle 1}$en valor absoluto y tiene${\displaystyle f_{N}(1)=1}$, mientras${\displaystyle f_{N}(z)={\frac {z^{N+1}-z^{-N}}{(2N+1)(z-1)}}}$para${\displaystyle z\in \mathbb {T} \setminus \{1\}}$, que converge a${\displaystyle 0}$como${\displaystyle N\to \infty }$Por lo tanto, según el teorema de convergencia dominada ,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }1_{\{1\}}(z)\,d\nu (z)=\nu (\{1\}).}$

Ahora tomamos${\displaystyle \mu '}$ser el impulsor de${\displaystyle {\overline {\mu }}}$bajo el mapa inverso en${\displaystyle \mathbb {T} }$, es decir${\displaystyle \mu '(B)={\overline {\mu (B^{-1})}}}$para cualquier juego de Borel${\displaystyle B\subseteq \mathbb {T} }$Esta medida compleja tiene coeficientes de Fourier.${\displaystyle {\widehat {\mu '}}(n)={\overline {{\widehat {\mu }}(n)}}}$Vamos a aplicar lo anterior a la convolución entre${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \mu '}$, es decir, elegimos${\displaystyle \nu =\mu *\mu '}$, lo que significa que${\displaystyle \nu }$es el impulso de la medida${\displaystyle \mu \times \mu '}$(en${\displaystyle \mathbb {T} \times \mathbb {T} }$) bajo el mapa del producto${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {T} \times \mathbb {T} \to \mathbb {T} } . Por el teorema de Fubini

${\displaystyle {\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }(zw)^{-n}\,d(\mu \times \mu ')(z,w)=\int _{\mathbb {T} }\int _{\mathbb {T} }z^{-n}w^{-n}\,d\mu '(w)\,d\mu (z)={\widehat {\mu }}(n){\widehat {\mu '}}(n)=|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}.}$

Entonces, por la identidad derivada anteriormente, ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\nu (\{1\})=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }1_{\{zw=1\}}\,d(\mu \times \mu ')(z,w).}$ Según el teorema de Fubini , el lado derecho es igual a

${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }\mu '(\{z^{-1}\})\,d\mu (z)=\int _{\mathbb {T} }{\overline {\mu (\{z\})}}\,d\mu (z)=\sum _{j}|\mu (\{z_{j}\})|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2}.}$

• La demostración de la afirmación análoga para la recta real es idéntica, excepto que usamos la identidad.

${\displaystyle {\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} }f_{R}(x)\,d\nu (x)}$

(que se deduce del teorema de Fubini ), donde${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi }$Observamos que${\displaystyle |f_{R}|\leq 1}$,${\displaystyle f_{R}(0)=1}$y${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {e^{2\pi iRx}-e^{-2\pi iRx}}{4\pi iRx}}}$para${\displaystyle x\neq 0}$, que converge a${\displaystyle 0}$como${\displaystyle R\to \infty }$. Por lo tanto, mediante convergencia dominada , tenemos la identidad análoga.

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\nu (\{0\}).}$

• Teorema de descomposición de Lebesgue
• Problema de momentos trigonométricos

• Helson, Henry (2010). Análisis armónico . Vol.  7. Gurgaon: Hindustan Book Agency. doi : 10.1007/978-93-86279-47-7 . ISBN 978-93-80250-05-2.
• Katznelson, Yitzhak (1976). Introducción al análisis armónico . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.
• Lyons, Russell (1985). "Coeficientes de Fourier-Stieltjes y distribución asintótica módulo 1". The Annals of Mathematics . 122 (1). doi : 10.2307/1971372 .