Álgebra de Wiener

En matemáticas, el álgebra de Wiener , llamada así por Norbert Wiener y usualmente denotada por A ( T ) , es el espacio de series de Fourier absolutamente convergentes . ^[1] Aquí T denota el grupo circular .

La norma de una función f  ∈  A ( T ) está dada por

${\displaystyle \|f\|=\suma _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|,\,}$

dónde

${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-int}\,dt}$

es el n- ésimo coeficiente de Fourier de f . El álgebra de Wiener A ( T ) es cerrada bajo la multiplicación puntual de funciones. De hecho,

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)g(t)&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m)e^{imt}\,\cdot \,\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {g}}(n)e^{int}\\&=\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m){\hat {g}}(n)e^{i(m+n)t}\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left\{\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(nm){\hat {g}}(m)\right\}e^{int},\qquad f,g\in A(\mathbb {T} );\end{aligned}}}$

por lo tanto

${\displaystyle \|fg\|=\suma _{n\in \mathbb {Z} }\left|\suma _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(nm){\hat {g}}(m)\right|\leq \suma _{m}|{\hat {f}}(m)|\suma _{n}|{\hat {g}}(n)|=\|f\|\,\|g\|.\,}$

Por lo tanto, el álgebra de Wiener es un álgebra de Banach unitaria conmutativa . Además, A ( T ) es isomorfa al álgebra de Banach l ₁ ( Z ) , con el isomorfismo dado por la transformada de Fourier.

La suma de una serie de Fourier absolutamente convergente es continua, por lo que

${\displaystyle A(\mathbb {T} )\subconjunto C(\mathbb {T} )}$

donde C ( T ) es el anillo de funciones continuas en el círculo unitario.

Por otra parte, una integración por partes , junto con la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la fórmula de Parseval , muestra que

${\displaystyle C^{1}(\mathbb {T} )\subconjunto A(\mathbb {T} ).\,}$

De manera más general,

${\displaystyle \mathrm {Labio} _{\alpha }(\mathbb {T} )\subconjunto A(\mathbb {T} )\subconjunto C(\mathbb {T} )}$

para (ver Katznelson (2004)). ${\displaystyle \alpha >1/2}$

Wiener (1932, 1933) demostró que si f tiene una serie de Fourier absolutamente convergente y nunca es cero, entonces su recíproco 1/ f también tiene una serie de Fourier absolutamente convergente. Desde entonces han aparecido muchas otras demostraciones, incluida una elemental de Newman  (1975).

Gelfand (1941, 1941b) utilizó la teoría de las álgebras de Banach que desarrolló para demostrar que los ideales máximos de A ( T ) son de la forma

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} ~,}$

lo cual es equivalente al teorema de Wiener.

• Teorema de Wiener-Lévy

• Arveson, William (2001) [1994], "Un curso breve sobre teoría espectral", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Gelfand, I. (1941a), "Normierte Ringe", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 3–24, SEÑOR  0004726
• Gelfand, I. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 51–66, SEÑOR  0004727
• Katznelson, Yitzhak (2004), Una introducción al análisis armónico (tercera edición), Nueva York: Cambridge Mathematical Library, ISBN 978-0-521-54359-0
• Newman, DJ (1975), "Una prueba simple del teorema 1/ f de Wiener", Actas de la American Mathematical Society , 48 : 264–265, doi :10.2307/2040730, ISSN  0002-9939, MR  0365002
• Wiener, Norbert (1932), "Teoremas de Tauber", Anales de Matemáticas , 33 (1): 1–100, doi :10.2307/1968102
• Wiener, Norbert (1933), La integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511662492, ISBN 978-0-521-35884-2, Sr.  0983891