Serie Wiener

En matemáticas, la serie de Wiener , o expansión funcional G de Wiener , tiene su origen en el libro de Norbert Wiener de 1958. Es una expansión ortogonal para funcionales no lineales estrechamente relacionada con la serie de Volterra y con la misma relación que una expansión polinómica ortogonal de Hermite con una serie de potencias . Por esta razón, también se la conoce como expansión de Wiener-Hermite . Los análogos de los coeficientes se denominan núcleos de Wiener . Los términos de la serie son ortogonales (no correlacionados) con respecto a una entrada estadística de ruido blanco . Esta propiedad permite identificar los términos en aplicaciones mediante el método de Lee-Schetzen .

La serie de Wiener es importante en la identificación de sistemas no lineales . En este contexto, la serie aproxima la relación funcional de la salida con respecto a toda la historia de la entrada del sistema en cualquier momento. La serie de Wiener se ha aplicado principalmente a la identificación de sistemas biológicos, especialmente en neurociencia .

El término serie de Wiener se utiliza casi exclusivamente en la teoría de sistemas . En la literatura matemática aparece como la expansión de Itô (1951), que tiene una forma diferente pero es totalmente equivalente.

La serie de Wiener no debe confundirse con el filtro de Wiener , que es otro algoritmo desarrollado por Norbert Wiener y utilizado en el procesamiento de señales.

Dado un sistema con un par de entrada/salida${\displaystyle (x(t),y(t))}$donde la entrada es ruido blanco con valor medio cero y potencia A, podemos escribir la salida del sistema como la suma de una serie de funcionales G de Wiener. ${\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}$

A continuación se presentarán las expresiones de los G-funcionales hasta el quinto orden:

{{Aclarar}}

${\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}$

${\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{alineado}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}$

• Serie Volterra
• Identificación del sistema
• Promedio activado por picos

• Wiener, Norberto (1958). Problemas no lineales en teoría aleatoria . Wiley y MIT Press.
• Lee y Schetzen; Schetzen‡, M. (1965). "Medición de los núcleos de Wiener de un sistema no lineal mediante correlación cruzada". Revista Internacional de Control . Primero. 2 (3): 237– 254. doi : 10.1080/00207176508905543 .
• Itô K "Una integral de Wiener múltiple" J. Math. Soc. Japón. 3 1951 157-169
• Marmarelis, PZ; Naka, K. (1972). "Análisis de ruido blanco de una cadena neuronal: una aplicación de la teoría de Wiener". Science . 175 (4027): 1276– 1278. Bibcode : 1972Sci...175.1276M . doi : 10.1126/science.175.4027.1276 . PMID 5061252 . 
• Schetzen, Martín (1980). Las teorías de Volterra y Wiener sobre sistemas no lineales . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Marmarelis, PZ (1991). "Análisis de Wiener de la retroalimentación no lineal". Sensory Systems Annals of Biomedical Engineering . 19 (4): 345– 382. doi : 10.1007/BF02584316 . PMID 1741522 . 
• Franz, M; Schölkopf, B. (2006). "Una visión unificadora de la teoría de Wiener y Volterra y la regresión de núcleo polinomial". Neural Computation . 18 (12): 3097– 3118. doi : 10.1162/neco.2006.18.12.3097 . PMID 17052160 . 
• LA Zadeh Sobre la representación de operadores no lineales. IRE Westcon Conv. Record pt.2 1957 105-113.