Espacio clásico de Wiener

El espacio vectorial${\displaystyle C}$puede equiparse con la norma uniforme

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

convirtiéndolo en un espacio vectorial normado (de hecho, un espacio de Banach ya que${\displaystyle [0,T]}$es compacto). Esta norma induce una métrica en${\displaystyle C}$De la forma habitual:${\displaystyle d(f,g):=\|fg\|}$. La topología generada por los conjuntos abiertos en esta métrica es la topología de convergencia uniforme en${\displaystyle [0,T],}$o la topología uniforme .

Pensando en el dominio${\displaystyle [0,T]}$como "tiempo" y el rango${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como "espacio", una visión intuitiva de la topología uniforme es que dos funciones están "cerca" si podemos "mover ligeramente el espacio" y obtener la gráfica de${\displaystyle f}$para estar encima del gráfico de${\displaystyle g}$, mientras que el tiempo permanece fijo. Compárese esto con la topología de Skorokhod , que nos permite "mover" tanto el espacio como el tiempo.

Si uno observa el dominio más general${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$con

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\geq 0}|f(t)|,}$

Entonces el espacio de Wiener ya no es un espacio de Banach; sin embargo, puede convertirse en uno si el espacio de Wiener se define bajo la restricción adicional.

${\displaystyle \lim \limits _{s\to \infty }s^{-1}|f(s)|=0.}$

Con respecto a la métrica uniforme,${\displaystyle C}$es un espacio separable y completo a la vez :

• La separabilidad es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass ;
• La completitud es consecuencia del hecho de que el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas es también continuo.

Dado que es a la vez separable y completo,${\displaystyle C}$es un espacio polaco .

Recordemos que el módulo de continuidad para una función${\displaystyle f:[0,T]\to \mathbb {R} ^{n}}$se define por

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|st|\leq \delta \right\}.}$

Esta definición tiene sentido incluso si${\displaystyle f}$no es continuo, y se puede demostrar que${\displaystyle f}$es continua si y solo si su módulo de continuidad tiende a cero cuando${\displaystyle \delta \to 0:}$

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ cuando }}\delta \to 0}$.

Mediante la aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia${\displaystyle (\mu _ {n})_{n=1}^{\infty }}$de medidas de probabilidad en el espacio de Wiener clásico${\displaystyle C}$es ajustado si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C:|f(0)|\geq a\}=0,}$y

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C:\omega _ {f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$a pesar de${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Existe una medida "estándar" sobre${\displaystyle C_{0},}$conocida como medida de Wiener clásica (o simplemente medida de Wiener ). La medida de Wiener tiene (al menos) dos caracterizaciones equivalentes:

Si se define el movimiento browniano como un proceso estocástico de Markov${\displaystyle B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$partiendo del origen, con trayectorias casi seguramente continuas e incrementos independientes

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|ts|\right),}$

luego la medida clásica de Wiener${\displaystyle \gamma }$es la ley del proceso${\displaystyle B.}$

Alternativamente, se puede utilizar la construcción abstracta del espacio de Wiener , en la que la medida clásica de Wiener${\displaystyle \gamma }$es la radonificación de la medida de conjunto del cilindro gaussiano canónico en el espacio de Hilbert de Cameron-Martin correspondiente a${\displaystyle C_{0}.}$

La medida de Wiener clásica es una medida gaussiana : en particular, es una medida de probabilidad estrictamente positiva .

Dada la medida clásica de Wiener${\displaystyle \gamma }$en${\displaystyle C_{0},}$la medida del producto${\displaystyle \gamma ^{n}\times \gamma }$es una medida de probabilidad en${\displaystyle C}$, dónde${\displaystyle \gamma ^{n}}$denota la medida gaussiana estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Para un proceso estocástico${\displaystyle \{X_{t},t\in [0,T]\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (M,{\mathcal {B}})}$y el espacio funcional${\displaystyle M^{E}\equiv \{E\to M\}}$de todas las funciones de${\displaystyle E}$a${\displaystyle M}$, uno mira el mapa${\displaystyle \varphi$ :\Omega \to M^{E}} . Entonces se pueden definir los mapas de coordenadas o versiones canónicas.${\displaystyle Y_{t}:M^{E}\to M}$definido por${\displaystyle Y_{t}(\omega )=\omega (t)}$. El${\displaystyle \{Y_{t},t\in E\}}$formar otro proceso. Para${\displaystyle M=\mathbb {R} }$y${\displaystyle E=\mathbb {R} _{+}}$, la medida de Wiener es entonces la medida única en${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$de tal manera que el proceso de coordenadas sea un movimiento browniano. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$ser un espacio de Hilbert que está continuamente incrustado y dejar${\displaystyle \gamma }$entonces sea la medida Wiener${\displaystyle \gamma (H)=0}$Esto fue demostrado en 1973 por Smolyanov y Uglanov y, ese mismo año, de forma independiente por Guerquin. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sin embargo, existe un espacio de Hilbert.${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$con una topología más débil tal que${\displaystyle \gamma (H)=1}$lo cual fue demostrado en 1993 por Uglanov. ^{[ 4 ]}