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celda de Wigner-Seitz

La celda de Wigner-Seitz , que recibe su nombre de Eugene Wigner y Frederick Seitz , es una celda primitiva que se ha construido aplicando la descomposición de Voronoi a una red...

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La celda de Wigner-Seitz , que recibe su nombre de Eugene Wigner y Frederick Seitz , es una celda primitiva que se ha construido aplicando la descomposición de Voronoi a una red cristalina . Se utiliza en el estudio de materiales cristalinos en cristalografía .

Celda primitiva de Wigner-Seitz para redes de paralelogramos de diferentes ángulos.

La característica distintiva de un cristal es que sus átomos se disponen en una red tridimensional regular . Todas las propiedades atribuidas a los materiales cristalinos derivan de esta estructura altamente ordenada. Dicha estructura presenta una simetría traslacional discreta . Para modelar y estudiar un sistema periódico de este tipo, se necesita un instrumento matemático que describa la simetría y, por lo tanto, permita extraer conclusiones sobre las propiedades del material derivadas de ella. La celda de Wigner-Seitz es un medio para lograrlo.

Una celda de Wigner-Seitz es un ejemplo de celda primitiva , que es una celda unitaria que contiene exactamente un punto de la red. Para cualquier red dada, existe un número infinito de posibles celdas primitivas. Sin embargo, solo hay una celda de Wigner-Seitz para cualquier red dada. Es el lugar geométrico de los puntos en el espacio que están más cerca de ese punto de la red que de cualquier otro punto de la red.

Una celda de Wigner-Seitz, como cualquier celda primitiva, es un dominio fundamental para la simetría de traslación discreta de la red . La celda primitiva de la red recíproca en el espacio de momentos se denomina zona de Brillouin .

Descripción general

Fondo

El concepto de descomposición de Voronoi fue investigado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , dando origen al nombre de dominio de Dirichlet . Posteriormente, Evgraf Fedorov ( poliedro de Fedorov o paralelepípedo ), Georgy Voronoy ( poliedro de Voronoi ) [ 1 ] [ 2 ] y Paul Niggli ( área de influencia ) [ 3 ] realizaron contribuciones adicionales.

La aplicación a la física de la materia condensada fue propuesta por primera vez por Eugene Wigner y Frederick Seitz en un artículo de 1933, donde se utilizó para resolver la ecuación de Schrödinger para electrones libres en sodio elemental . [ 4 ] Aproximaron la forma de la celda de Wigner-Seitz en sodio, que es un octaedro truncado, como una esfera de igual volumen, y resolvieron la ecuación de Schrödinger exactamente utilizando condiciones de contorno periódicas , que requierendψ/dr=0{\displaystyle d\psi /dr=0}en la superficie de la esfera. Posteriormente , John C. Slater realizó un cálculo similar que también tuvo en cuenta la naturaleza no esférica de la celda de Wigner-Seitz. [ 5 ]

Solo hay cinco poliedros topológicamente distintos que recubren el espacio tridimensional ,R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}Estos se denominan paralelepípedos . Son objeto de interés matemático, como en dimensiones superiores. [ 6 ] Estos cinco paralelepípedos pueden utilizarse para clasificar las redes tridimensionales mediante el concepto de plano proyectivo, como sugirieron John Horton Conway y Neil Sloane . [ 7 ] Sin embargo, mientras que una clasificación topológica considera que cualquier transformación afín conduce a una clase idéntica, una clasificación más específica conduce a 24 clases distintas de poliedros de Voronoi con aristas paralelas que recubren el espacio. [ 3 ] Por ejemplo, el paralelepípedo rectangular , el prisma cuadrado recto y el cubo pertenecen a la misma clase topológica, pero se distinguen por diferentes proporciones de sus lados. Esta clasificación de los 24 tipos de poliedros de Voronoi para redes de Bravais fue presentada por primera vez por Boris Delaunay . [ 8 ]

Definición

La celda de Wigner-Seitz alrededor de un punto de la red se define como el lugar geométrico de los puntos en el espacio que están más cerca de ese punto de la red que de cualquier otro punto de la red. [ 9 ]

Se puede demostrar matemáticamente que una celda de Wigner-Seitz es una celda primitiva . Esto implica que la celda abarca todo el espacio directo sin dejar huecos ni agujeros, una propiedad conocida como teselación .

Construcción de la célula

Construcción de una célula primitiva de Wigner-Seitz.

El concepto matemático general que encierra una celda de Wigner-Seitz se conoce más comúnmente como celda de Voronoi , y la partición del plano en estas celdas para un conjunto dado de puntos se conoce como diagrama de Voronoi .

El proceso de construcción de la celda de Wigner-Seitz de una red hexagonal.

La celda se puede seleccionar eligiendo primero un punto de la red . Una vez elegido el punto, se trazan líneas que conectan con todos los puntos de la red cercanos. En el punto medio de cada línea, se traza otra línea perpendicular a cada una de las líneas del primer conjunto. El área más pequeña delimitada de esta manera se denomina celda primitiva de Wigner-Seitz .

Para una red tridimensional, los pasos son análogos, pero en el paso 2, en lugar de dibujar líneas perpendiculares, se dibujan planos perpendiculares en el punto medio de las líneas que unen los puntos de la red.

Como ocurre con todas las células primitivas, toda el área o el espacio dentro de la red puede ser llenado por células de Wigner-Seitz y no habrá huecos.

Los puntos de la red cercanos se examinan continuamente hasta que el área o volumen encerrado sea el área o volumen correcto para una celda primitiva . Alternativamente, si los vectores base de la red se reducen usando la reducción de red, solo se necesita usar un número fijo de puntos de la red. [ 10 ] En dos dimensiones, solo se necesitan usar los puntos de la red que componen las 4 celdas unitarias que comparten un vértice con el origen. En tres dimensiones, solo se necesitan usar los puntos de la red que componen las 8 celdas unitarias que comparten un vértice con el origen.

Retículas compuestas

Para redes compuestas (cristales que tienen más de un vector en su base ), cada punto de red individual representa múltiples átomos. Podemos dividir cada celda de Wigner-Seitz en subceldas mediante una descomposición de Voronoi adicional según el átomo más cercano, en lugar del punto de red más cercano. [ 12 ] Por ejemplo, la estructura cristalina del diamante contiene una base de dos átomos. En el diamante, los átomos de carbono tienen enlaces tetraédricos sp 3 , pero como los tetraedros no tesan el espacio , la descomposición de Voronoi de la estructura cristalina del diamante es en realidad el panal tetraédrico truncado triakis . [ 13 ] Otro ejemplo es aplicar la descomposición de Voronoi a los átomos en las fases A15 , que forman la aproximación poliédrica de la estructura de Weaire-Phelan .

Simetría

La celda de Wigner-Seitz siempre tiene la misma simetría puntual que la red de Bravais subyacente . [ 9 ] Por ejemplo, el cubo , el octaedro truncado y el dodecaedro rómbico tienen simetría puntual O h , ya que las respectivas redes de Bravais utilizadas para generarlos pertenecen todas al sistema de red cúbica , que tiene simetría puntual O h .

Zona de Brillouin

En la práctica, la celda de Wigner-Seitz rara vez se utiliza para describir el espacio directo , donde se suelen emplear las celdas unitarias convencionales. Sin embargo, esta misma descomposición es de suma importancia cuando se aplica al espacio recíproco . La celda de Wigner-Seitz en el espacio recíproco se denomina zona de Brillouin , la cual se utiliza para construir diagramas de bandas y determinar si un material es conductor , semiconductor o aislante .

Véase también

Referencias

  1. ^ Voronoi, Georges (1 de julio de 1908). "Nuevas aplicaciones de parámetros continúa con la teoría de las formas cuadradas. Deuxième mémoire. Recherches sur les parallélloèdres primitifs". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en francés). 1908 (134). Walter de Gruyter GmbH: 198– 287. doi : 10.1515/crll.1908.134.198 . ISSN 0075-4102 . S2CID 118441072 .  
  2. ^ Voronoi, Georges (1 de julio de 1909). "Nuevas aplicaciones de parámetros continúa con la teoría de las formas cuadradas. Deuxième Mémoire. Investigaciones sobre los paralelos primitivos". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en francés). 1909 (136). Walter de Gruyter GmbH: 67– 182. Código bibliográfico : 1909JRAM.1909...67V . doi : 10.1515/crll.1909.136.67 . ISSN 0075-4102 . S2CID 199547003 .  
  3. 1 2 3 Bohm, J.; Heimann, RB; Bohm, M. (1996). "Polyedros de Voronoi: una herramienta útil para determinar la simetría y la clase de Bravais de las redes cristalinas". Crystal Research and Technology . 31 (8). Wiley: 1069– 1075. Bibcode : 1996CryRT..31.1069B . doi : 10.1002/crat.2170310816 . ISSN 0232-1300 . 
  4. ↑ E. Wigner ; F. Seitz (15 de mayo de 1933). "Sobre la constitución del sodio metálico". Physical Review . 43 (10): 804. Bibcode : 1933PhRv...43..804W . doi : 10.1103/PhysRev.43.804 .
  5. ↑ Slater, JC (1934-06-01). "Bandas de energía electrónica en metales". Physical Review . 45 (11). American Physical Society (APS): 794– 801. Bibcode : 1934PhRv...45..794S . doi : 10.1103/physrev.45.794 . ISSN 0031-899X . 
  6. ↑ Garber, AI (2012). "Distancia de cinturón entre facetas de zonotopos que llenan el espacio". Notas Matemáticas . 92 ( 3– 4). Pleiades Publishing Ltd: 345– 355. arXiv : 1010.1698 . doi : 10.1134/s0001434612090064 . ISSN 0001-4346 . S2CID 13277804 .  
  7. ↑ Austin, Dave (2011). "Los cinco paralelohedros de Fedorov" . Sociedad Matemática Americana. Archivado del original el 3 de enero de 2019.
  8. ↑ Delone, BN ; Galiulin, RV; Shtogrin, MI (1975). "Sobre los tipos de Bravais de retículos" . Journal of Soviet Mathematics . 4 (1). Springer Science and Business Media LLC: 79–156 . doi : 10.1007/bf01084661 . ISSN 0090-4104 . S2CID 120358504 .  
  9. 1 2 3 4 Neil W. Ashcroft ; N. David Mermin (1976). Física del estado sólido . Holt, Rinehart and Winston. págs. 73-75 . ISBN  978-0030839931.
  10. ↑ Hart, Gus LW; Jorgensen, Jeremy J; Morgan, Wiley S; Forcade, Rodney W (2019-06-26). "Un algoritmo robusto para la generación de cuadrículas de puntos k y reducción de simetría" . Journal of Physics Communications . 3 (6): 065009. arXiv : 1809.10261 . Bibcode : 2019JPhCo...3f5009H . doi : 10.1088/2399-6528/ab2937 . ISSN 2399-6528 . 
  11. ↑ Lulek, T; Florek, W; Wałcerz, S (1995). "Clases de Bravais, celdas de Vonoroï, símbolos de Delone" (PDF) . Simetría y propiedades estructurales de la materia condensada . World Scientific. págs. 279–316 . doi : 10.1142/9789814533508 . ISBN  978-981-02-2059-4.
  12. ↑ Giuseppe Grosso; Giuseppe Pastori Parravicini (20 de marzo de 2000). Física del Estado Sólido . pag. 54.ISBN​  978-0123044600.
  13. ↑ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). Las simetrías de las cosas . pág. 332. ISBN  978-1568812205.