Arco salvaje

En topología geométrica , un arco salvaje es una incrustación del intervalo unitario en el espacio tridimensional que no es equivalente a la usual, en el sentido de que no existe una isotopía ambiental que convierta el arco en un segmento de línea recta.

Antoine (1920) encontró el primer ejemplo de un arco salvaje. Fox y Artin (1948) encontraron otro ejemplo, llamado arco de Fox-Artin , cuyo complemento no está simplemente conectado .

En el artículo de Fox y Artin (1948) aparecen dos arcos sinuosos muy similares . El ejemplo  1.1 (página 981) se conoce generalmente como el arco sinuoso de Fox-Artin. Los cruces siguen la secuencia regular arriba/arriba/abajo/arriba/abajo/abajo al recorrer la curva de izquierda a derecha.

El extremo izquierdo 0 del intervalo unitario cerrado${\displaystyle [0,1]}$El arco se mapea al punto límite izquierdo de la curva, y 1 se mapea al punto límite derecho. El rango del arco se encuentra en el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$o la 3-esfera${\displaystyle S^{3}}$.

Variante del arco Fox-Artin

El ejemplo  1.1* tiene la secuencia de cruce arriba/abajo/arriba/abajo/arriba/abajo. Según Fox y Artin (1948) , página  982: "Esto es simplemente la cadeneta del tejido de punto extendida indefinidamente en ambas direcciones".

Este arco no puede deformarse continuamente para producir el Ejemplo  1.1 en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$o${\displaystyle S^{3}}$, a pesar de su apariencia similar.

Aquí también se muestra un estilo alternativo de diagrama para el arco del Ejemplo  1.1*.

• Nudo salvaje
• Esfera con cuernos de Alejandro

• Antoine, L. (1920), "Sur la possibilité d'étendre l'homéomorphie de deux figure à leurs voisinages", CR Acad. Ciencia. París (en francés), 171 : 661
• Fox, Ralph H.; Harrold, OG (1962), "Los arcos de Wilder", Topología de 3-variedades y temas relacionados (Actas del Instituto de la Universidad de Georgia, 1961) , Prentice Hall , págs. 184–187 , MR 0140096  
• Fox, Ralph H.; Artin , Emil (1948), "Algunas células y esferas atípicas en el espacio tridimensional", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 49 (4): 979–990 , doi : 10.2307/1969408 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969408 , MR 0027512   
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topología . Dover. págs. 176–177 . ISBN  0-486-65676-4.
• McPherson, James M. (1973), "Arcos salvajes en el espacio tridimensional. I. Familias de arcos de Fox - Artin" , Pacific Journal of Mathematics , 45 (2): 585–598 , doi : 10.2140/pjm.1973.45.585 , ISSN 0030-8730 , MR 0343276