Distribución lambda de Wilks

En estadística , la distribución lambda de Wilks (llamada así por Samuel S. Wilks ) es una distribución de probabilidad utilizada en pruebas de hipótesis multivariadas , especialmente con respecto a la prueba de razón de verosimilitud y el análisis de varianza multivariado (MANOVA).

La distribución lambda de Wilks se define a partir de dos variables independientes distribuidas por Wishart como la distribución de proporciones de sus determinantes , ^[1]

dado

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

independiente y con${\displaystyle m\geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

donde p es el número de dimensiones. En el contexto de las pruebas de razón de verosimilitud , m suele ser el número de grados de libertad del error y n el número de grados de libertad de la hipótesis, es decir, el número total de grados de libertad. ^[1]${\displaystyle n+m}$

No se dispone de cálculos o tablas de la distribución de Wilks para dimensiones superiores y, por lo general, se recurre a aproximaciones. Una aproximación se atribuye a MS Bartlett y funciona para valores m grandes ^[2] y permite aproximar la lambda de Wilks con una distribución de chi-cuadrado.

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$^[1]

Otra aproximación se atribuye a CR Rao . ^{[1] [3]}

Existe una simetría entre los parámetros de la distribución de Wilks, ^[1]

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)}$

La distribución se puede relacionar con un producto de variables aleatorias independientes distribuidas en beta.

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

Como tal, puede considerarse una generalización multivariada de la distribución beta.

De ello se deduce directamente que para un problema unidimensional, cuando las distribuciones de Wishart son unidimensionales con (es decir, distribuidas mediante chi-cuadrado), entonces la distribución de Wilks es igual a la distribución beta con un cierto conjunto de parámetros, ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

A partir de las relaciones entre una beta y una distribución F , la lambda de Wilks se puede relacionar con la distribución F cuando uno de los parámetros de la distribución lambda de Wilks es 1 o 2, por ejemplo, ^[1]

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

y

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$