ecuación de pulverización de Williams

En la combustión , la ecuación de pulverización de Williams , también conocida como ecuación de Williams-Boltzmann , describe la evolución estadística de los chorros contenidos en otro fluido, análoga a la ecuación de Boltzmann para las moléculas, nombrada en honor a Forman A. Williams , quien derivó la ecuación en 1958. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Fuente: ^{[ 3 ]}

Se supone que los aerosoles son esféricos con radio , aunque la suposición es válida para partículas sólidas (gotas líquidas) cuando su forma no tiene consecuencias en la combustión. Para que las gotas líquidas sean casi esféricas, el aerosol debe estar diluido (el volumen total ocupado por los aerosoles es mucho menor que el volumen del gas) y el número de Weber , donde es la densidad del gas, es la velocidad de la gota del aerosol, es la velocidad del gas y es la tensión superficial del aerosol líquido, debe ser . ${\displaystyle r}$${\displaystyle We=2r\rho _{g}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}/\sigma }$${\displaystyle \rho _{g}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Nosotros\ll 10}$

La ecuación se describe mediante una función de densidad numérica , que representa el número probable de partículas de pulverización (gotas) de especies químicas (de especies totales), que se pueden encontrar con radios entre y , ubicadas en el rango espacial entre y , viajando con una velocidad entre y , teniendo una temperatura entre y en el tiempo . Entonces, la ecuación de pulverización para la evolución de esta función de densidad viene dada por ${\displaystyle f_{j}(r,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,T,t)\,dr\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} \,dT}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r+dr}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} +d\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} +d\mathbf {v} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T+dT}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial t}}+\nabla _{x}\cdot (\mathbf {v} f_{j})+\nabla _{v}\cdot (F_{j}f_{j})=-{\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})-{\frac {\partial }{\partial T}}(E_{j}f_{j})+Q_{j}+\Gamma _{j},\quad j=1,2,\ldots ,M.}$

dónde

${\displaystyle F_{j}=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{j}}$es la fuerza por unidad de masa que actúa sobre el chorro de especies (aceleración aplicada a los chorros),${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle R_{j}=\left({\frac {dr}{dt}}\right)_{j}}$es la tasa de cambio del tamaño del rocío de la especie,${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle E_{j}=\left({\frac {dT}{dt}}\right)_{j}}$es la tasa de cambio de la temperatura del rocío de especies debido a la transferencia de calor , ^{[ 4 ]}${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle Q_{j}}$ es la tasa de cambio de la función de densidad numérica de la pulverización de especies debido a la nucleación , la ruptura del líquido, etc.${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle \Gamma _{j}}$es la tasa de cambio de la función de densidad numérica de la especie pulverizada debido a la colisión con otras partículas pulverizadas.${\displaystyle j^{\text{th}}}$

Este modelo para el motor cohete fue desarrollado por Probert, ^{[ 5 ]} Williams ^{[ 1 ] [ 6 ]} y Tanasawa. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Es razonable despreciar , para distancias no muy cercanas al atomizador de pulverización, donde ocurre la mayor parte de la combustión. Consideremos un motor cohete de propulsión líquida unidimensional situado en , donde se pulveriza el combustible. Despreciando (la función de densidad se define sin la temperatura, por lo que las dimensiones de cambian en consecuencia) y debido a que el flujo medio es paralelo al eje , la ecuación de pulverización estacionaria se reduce a ${\displaystyle Q_{j},\ \Gamma _{j}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}(u_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}(F_{j}f_{j})=0}$

donde es la velocidad en dirección. Integrando con respecto a la velocidad se obtiene ${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left(\int R_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\int u_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+[F_{j}f_{j}]_{0}^{\infty }=0}$

La contribución del último término (término de aceleración del chorro) se vuelve cero (usando el teorema de la divergencia ) ya que cuando es muy grande, lo cual es típico en los motores de cohetes. La tasa de tamaño de gota se modela bien usando mecanismos de vaporización como ${\displaystyle f_{j}\rightarrow 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R_{j}}$

${\displaystyle R_{j}=-{\frac {\chi _{j}}{r^{k_{j}}}},\quad \chi _{j}\geq 0,\quad 0\leq k_{j}\leq 1}$

donde es independiente de , pero puede depender del gas circundante. Definiendo el número de gotas por unidad de volumen por unidad de radio y cantidades promedio promediadas sobre velocidades, ${\displaystyle \chi _{j}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle G_{j}=\int f_{j}\,du_{j},\quad {\bar {R}}_{j}={\frac {\int R_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}},\quad {\bar {u}}_{j}={\frac {\int u_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}}}$

la ecuación se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}({\bar {R}}_{j}G_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}({\bar {u}}_{j}G_{j})=0.}$

Si además se supone que es independiente de , y con una coordenada transformada ${\displaystyle {\bar {u}}_{j}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \eta _{j}=\left[r^{k_{j}+1}+(k_{j}+1)\int _{0}^{x}{\frac {\chi _{j}}{{\bar {u}}_{j}}}\,dx\right]^{1/(k_{j}+1)}}$

Si la cámara de combustión tiene un área de sección transversal variable , una función conocida para y con área en el punto de pulverización, entonces la solución viene dada por ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle A_{o}}$

${\displaystyle G_{j}(\eta _{j})=G_{j,o}(\eta _{j}){\frac {A_{o}{\bar {u}}_{j,o}}{A{\bar {u}}_{j}}}\left({\frac {r}{\eta _{j}}}\right)^{k_{j}}}$.

donde se encuentran la distribución numérica y la velocidad media respectivamente. ${\displaystyle G_{j,0}=G_{j}(r,0),\ {\bar {u}}_{j,0}={\bar {u}}_{j}(x=0)}$${\displaystyle x=0}$

• ecuación de Boltzmann
• Aerosol (gota líquida)
• Cohete de propulsión líquida
• Ecuación de coagulación de Smoluchowski