Presentación de Wirtinger

En matemáticas , especialmente en teoría de nudos , una presentación de Wirtinger es una presentación finita donde las relaciones son de la forma${\displaystyle wg_{i}w^{-1}=g_{j}}$dónde${\displaystyle w}$es una palabra en los generadores,${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{k}\}.}$Wilhelm Wirtinger observó que los complementos de los nudos en el espacio tridimensional tienen grupos fundamentales con representaciones de esta forma.

Un nudo${\displaystyle K}$es una incrustación del círculo${\displaystyle S^{1}}$en el espacio tridimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. (Alternativamente, el espacio ambiente también puede considerarse como la esfera tridimensional.${\displaystyle S^{3}}$, lo cual no supone ninguna diferencia para los fines de la presentación de Wirtinger.) El subespacio abierto que es el complemento del nudo,${\displaystyle S^{3}\setminus K}$es el complemento del nudo. Su grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$es un invariante del nudo en el sentido de que los nudos equivalentes tienen grupos de nudos isomorfos . Por lo tanto, es interesante comprender este grupo de una manera accesible.

Una presentación de Wirtinger se deriva de una proyección regular de un nudo orientado . Dicha proyección puede representarse como un número finito de arcos (orientados) en el plano, separados por los puntos de intersección de la proyección. El grupo fundamental se genera mediante bucles que se enrollan alrededor de cada arco. Cada intersección da lugar a una determinada relación entre los generadores correspondientes a los arcos que confluyen en ella.

En términos más generales, se sabe que los nudos de codimensión dos en esferas tienen presentaciones de Wirtinger. Michel Kervaire demostró que un grupo abstracto es el grupo fundamental de un exterior de nudo (en una esfera posiblemente de alta dimensión) si y solo si se cumplen todas las condiciones siguientes:

1. La abelianización del grupo son los números enteros.
2. La segunda homología del grupo es trivial.
3. El grupo está presentado de forma finita .
4. El grupo es el cierre normal de un único generador.

Las condiciones (3) y (4) son esencialmente la condición de presentación de Wirtinger, reformulada. Kervaire demostró en dimensiones 5 y superiores que las condiciones anteriores son necesarias y suficientes. Caracterizar los grupos de nudos en dimensión cuatro es un problema abierto.

Para el nudo de trébol , se puede mostrar una presentación de Wirtinger.

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\backslash {\text{trefoil}})=\langle x,y\mid (xy)^{-1}yxy=x\rangle .}$

• grupo de nudos

• Rolfsen, Dale (1990), Nudos y enlaces , Serie de conferencias de matemáticas, vol.  7, Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-16-4, sección 3D
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• Hillman, Jonathan (2012), Invariantes algebraicos de enlaces , Serie sobre nudos y todo lo demás, vol.  52, World Scientific, doi : 10.1142/9789814407397 , ISBN 9789814407397
• Livingston, Charles (1993), Teoría de nudos , La Asociación Matemática de América