Teorema de Wold

En estadística , la descomposición de Wold o el teorema de representación de Wold (que no debe confundirse con el teorema de Wold que es el análogo en tiempo discreto del teorema de Wiener-Khinchin ), que lleva el nombre de Herman Wold , dice que toda serie temporal estacionaria en covarianza${\displaystyle Y_{t}}$se puede escribir como la suma de dos series temporales, una determinista y otra estocástica .

Formalmente

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{tj}+\eta _{t},}$

dónde:

• ${\displaystyle Y_{t}}$¿Se está considerando la serie temporal ?

• ${\displaystyle \varepsilon _ {t}}$es una secuencia no correlacionada que es el proceso de innovación al proceso${\displaystyle Y_{t}}$– es decir, un proceso de ruido blanco que se introduce en el filtro lineal.${\displaystyle \{b_{j}\}}$.

• ${\displaystyle b}$es el vector posiblemente infinito de pesos (coeficientes o parámetros) de promedio móvil.

• ${\displaystyle \eta _{t}}$es una serie temporal "determinista", en el sentido de que está completamente determinada como una combinación lineal de sus valores pasados ​​(véase, por ejemplo, Anderson (1971) Cap. 7, Sección 7.6.3, págs. 420-421). Puede incluir "términos deterministas" como ondas sinusoidales/cosenoidales de${\displaystyle t}$, pero es un proceso estocástico y también es estacionario en covarianza, no puede ser un proceso determinista arbitrario que viole la estacionariedad.

Los coeficientes de la media móvil tienen las siguientes propiedades:

1. Estable, es decir, sumable al cuadrado.${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$<${\displaystyle \infty }$
2. Causal (es decir, no hay términos con j < 0)
3. Fase mínima
4. Constante (${\displaystyle b_{j}}$independiente de t )
5. Es convencional definir${\displaystyle b_{0}=1}$

Este teorema puede considerarse un teorema de existencia: cualquier proceso estacionario tiene esta representación aparentemente especial. No solo es notable la existencia de una representación lineal y exacta tan simple, sino que aún más lo es la naturaleza especial del modelo de media móvil. Imaginemos crear un proceso que sea una media móvil pero que no satisfaga estas propiedades 1-4. Por ejemplo, los coeficientes${\displaystyle b_{j}}$Podría definirse un modelo acausal y de fase no mínima . Sin embargo, el teorema garantiza la existencia de una media móvil causal de fase mínima que representa con exactitud este proceso. El funcionamiento de todo esto en el caso de causalidad y la propiedad de retardo mínimo se analiza en Scargle (1981), donde se discute una extensión de la descomposición de Wold.

La utilidad del Teorema de Wold radica en que permite la evolución dinámica de una variable.${\displaystyle Y_{t}}$ser aproximado por un modelo lineal . Si las innovaciones${\displaystyle \varepsilon _ {t}}$son independientes , entonces el modelo lineal es la única representación posible que relaciona el valor observado de${\displaystyle Y_{t}}$a su evolución pasada. Sin embargo, cuando${\displaystyle \varepsilon _ {t}}$es simplemente una secuencia no correlacionada pero no independiente, entonces el modelo lineal existe pero no es la única representación de la dependencia dinámica de la serie. En este último caso, es posible que el modelo lineal no sea muy útil y habría un modelo no lineal que relacionara el valor observado de${\displaystyle Y_{t}}$a su evolución pasada. Sin embargo, en el análisis práctico de series temporales , a menudo solo se consideran predictores lineales, en parte por razones de simplicidad, en cuyo caso la descomposición de Wold es directamente relevante.

La representación de Wold depende de un número infinito de parámetros, aunque en la práctica suelen decaer rápidamente. El modelo autorregresivo es una alternativa que puede tener pocos coeficientes si la media móvil correspondiente tiene muchos. Estos dos modelos pueden combinarse en un modelo autorregresivo de media móvil (ARMA) o en un modelo autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA) si existe no estacionariedad. Véase Scargle (1981) y las referencias allí citadas; además, este artículo ofrece una extensión del teorema de Wold que permite una mayor generalidad para la media móvil (no necesariamente estable, causal o con retardo mínimo), acompañada de una caracterización más precisa de la innovación (distribuida de forma idéntica e independiente, no solo no correlacionada). Esta extensión permite la posibilidad de modelos más fieles a los procesos físicos o astrofísicos, y en particular, que pueden percibir «la flecha del tiempo ».

• Anderson, TW (1971). El análisis estadístico de series temporales . Wiley.
• Nerlove, M.; Grether, David M.; Carvalho, José L. (1995). Análisis de series temporales económicas (  Edición revisada). San Diego: Academic Press. pp. 30–36 . ISBN  0-12-515751-7.
• Scargle, JD (1981). Estudios sobre el análisis de series temporales astronómicas. I – Modelado de procesos aleatorios en el dominio del tiempo . Astrophysical Journal Supplement Series. Vol.  45. pp. 1– 71. 
• Wold, H. (1954) Un estudio sobre el análisis de series temporales estacionarias , segunda edición revisada, con un apéndice sobre "Desarrollos recientes en el análisis de series temporales" de Peter Whittle . Almqvist and Wiksell Book Co., Uppsala.