Modelo del país de las maravillas

Wonderland es un modelo matemático integrado que se utiliza para estudiar fenómenos relacionados con el desarrollo sostenible . Fue introducido por primera vez por el economista (Waren C. Sanderson 1994) de la Universidad de Stony Brook y actualmente existen varias versiones relacionadas del modelo en uso. Wonderland permite a los economistas , analistas de políticas y ambientalistas estudiar las interacciones entre los sectores económico , demográfico y antropogénico de un mundo idealizado, lo que les permite obtener conocimientos transferibles al mundo real.

Wonderland es un modelo compacto. En total, sólo hay cuatro variables de estado continuas, una para cada sector económico y demográfico y dos para el sector antropogénico, lo que hace que Wonderland sea más compacto y fácil de analizar que modelos más grandes y complejos como World3 . Por este motivo, se utiliza a menudo como campo de pruebas inicial para nuevas técnicas en el área de análisis de políticas (Lempert, et al., 2003).

Denotemos las cuatro variables de estado como:  – población,  – producción per cápita,  – stock de capital natural y  – flujo de contaminación por unidad de producción. Sea y , entonces las variables de estado evolucionan en tiempo discreto , de acuerdo con las siguientes relaciones de recurrencia (Sanderson, 1994). ${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle z(t)}$${\estilo de visualización p(t)}$${\displaystyle x,y\in [0,\infty )}$${\displaystyle z,p\en [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+1)&=x(t)\left[1+b{\Big (}y(t),z(t){\Big )}-d{\Big (}y(t),z(t){\Big )}\right],\\y(t+1)&=y(t)\left(1+\gamma -(\gamma +\eta ){\Big [}1-z(t){\Big ]}^{\lambda }\right),\\z(t+1)&={\frac {g{\Big (}x(t),y(t),z(t),p(t){\Big )}}{1+g{\Big (}x(t),y(t),z(t),p(t){\Big )}}},\\p(t+1)&=p(t)(1-\chi ),\\\ &\ \\\!\!\!{\text{donde,}}\qquad &\ \\\ &\ \\b(y,z)&=\beta _{0}\left[\beta _{1}-\left({\frac {e^{\beta y}}{1+e^{\beta y}}}\right)\right],\\d(y,z)&=\alpha _{0}\left[\alpha _{1}-\left({\frac {e^{\alpha y}}{1+e^{\alpha y}}}\right)\right]\left[1+\alpha _{2}(1-z)^{\theta }\right],\\g(x,y,z,p)&={\frac {z}{1-z}}\,e^{\,\delta z^{\rho }-\omega f(x,y,p)},\ {\text{y}}\\f(x,y,p)&=xyp.\end{alineado}}}$

En total, estas ecuaciones dependen de 15 parámetros.

${\displaystyle b(y,z)}$y representan la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad respectivamente. Ambas se saturan a medida que aumenta el producto per cápita, de acuerdo con estudios empíricos (Cohen, 1995).${\displaystyle d(y,z)}$

La forma de se sigue de la hipótesis I = PAT . ${\displaystyle f(x,y,p)}$

Utilizando la técnica de análisis de escenarios , Sanderson (1994) estudió dos futuros posibles para el mundo idealizado descrito por Wonderland. Un futuro llamado Sueño , ofrecía la posibilidad de un crecimiento sostenible sin fin , mientras que el otro, denominado Horror , terminaba en un colapso ambiental y la extinción final de la población. Trabajos posteriores (Kohring, 2006) mostraron que los parámetros del modelo pueden dividirse en dos conjuntos, uno que siempre produce futuros sostenibles y otro que siempre termina en colapso y extinción. Además, las ecuaciones de Wonderland exhiben un comportamiento caótico (Gröller, et al., 1996, Wegenkittl, et al., 1997, Leeves y Herbert, 1998).

En el modelo básico es imposible evitar o recuperarse del colapso ambiental observado en el escenario del Horror sin realizar cambios en el propio modelo. Se han estudiado dos de esos cambios: la reducción de la contaminación y la prevención de la contaminación .

La reducción de los efectos de la contaminación permite obtener fondos de otras fuentes para pagar la limpieza del medio ambiente (Sanderson, 1994). Esto reduce el valor de incluir en las ecuaciones de nacimiento, , y muerte, : ${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y^{\prime }=y-\phi (1-z)^{\mu }y\end{aligned}}}$

La evolución temporal de los bienes y servicios no se ve afectada porque los bienes y servicios necesarios para reducir la contaminación también deben considerarse parte de la producción total. El impacto de estos cambios en el medio ambiente se expresa mediante cambios en : ${\displaystyle y(t)}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,p)=xyp-\kappa {\frac {e^{\epsilon \phi (1-z)^{\mu }yx}}{1+e ^{\epsilon \phi (1-z)^{\mu }yx}}}\end{aligned}}}$

Estos cambios introducen tres nuevos parámetros en el modelo:

Ajustando las palancas de la política, es posible limpiar un medio ambiente contaminado y recuperarse del colapso observado en el escenario del Horror . Sin embargo, la recuperación es sólo temporal: después de un breve período de crecimiento sólido, el sistema vuelve a colapsar, lo que lleva a ciclos interminables de colapso seguidos de recuperación. La reducción de la contaminación no altera la división fundamental de los parámetros en los dos conjuntos de futuros sostenibles e insostenibles (Kohring, 2006).

La prevención de la contaminación tiene como objetivo impedir que la contaminación entre en el medio ambiente, haciendo que su producción no sea rentable. Esto se modela mediante un impuesto a la contaminación (Herbert y Leeves, 1998, Lempert, et al., 2003):

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t+1)&=y(t)\left(1+\gamma -\left(\gamma +\eta \right){\Big [}1-z(t){\Big ]}^{\lambda }-\gamma _{0}\,{\frac {\tau }{1-\tau }}\right),\\p(t+1)&=p(t)\left(1-\chi -\chi _{0}{\frac {\tau }{1+\tau }}\right).\\\end{aligned}}}$

Los nuevos parámetros para el modelo de evitación de la contaminación son:

Con estos cambios, es posible elevar la tasa impositiva, de modo que el sistema nunca colapse y se evite por completo el escenario de terror. Independientemente de los otros parámetros, siempre es posible aumentarla para evitar el colapso y permitir así un crecimiento sostenible sin fin (Kohring, 2006). ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

En lugar de la ecuación de crecimiento económico relativamente simple utilizada por algunos investigadores, se utiliza una función de producción Cobb-Douglas (Leeves y Herbert, 2002). ${\displaystyle y(t)}$

La forma estándar del modelo Wonderland contiene una entidad única y homogénea. Herbert et al. (2005) ampliaron Wonderland a un modelo multipaís al permitir que las diferentes entidades utilicen diferentes conjuntos de parámetros y suponiendo que los resultados están acoplados a través de flujos comerciales.

Originalmente desarrollado en términos de ecuaciones de diferencias finitas en tiempo discreto , a menudo se reformula como un conjunto de ecuaciones diferenciales en tiempo continuo (Gröller, et al., 1996).