Cardenal mundano

En la teoría matemática de conjuntos , un cardinal mundano es un cardinal κ tal que el rango V _κ es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . ^{[ 1 ]} Un cardinal límite fuerte κ es mundano si y solo si para cada natural n , hay un número ilimitado de ordinales θ < κ tales que V _θ ≺ _{Σ n} V _κ .

Según el teorema _de categoricidad de Zermelo , todo cardinal inaccesible es mundano. Según el teorema de Shepherdson, la inaccesibilidad es equivalente a la afirmación más fuerte de que ( Vκ , Vκ ₊₁ ) es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel de segundo orden. ^{[ 2 ]} Ser mundano y ser inaccesible no son equivalentes; de hecho, el cardinal mundano más pequeño tiene cofinalidad numerable y, por lo tanto, es un cardinal singular . ^{[ 3 ]}

Los siguientes están en orden estrictamente ascendente, donde${\displaystyle I}$es el cardinal menos inaccesible:

• La κ menos mundana.
• Los κ y λ menos mundanos (κ < λ, y lo mismo a continuación) con V _κ y V _λ que satisfacen la misma teoría.
• El κ menos mundano que es un límite de cardinales mundanos (equivalentemente, un límite de κ cardinales mundanos).
• Los κ y λ menos mundanos con V _κ ≺ _{Σ 2} V _λ (esto es superior incluso a una iteración κ-múltiple del elemento anterior).
• Los κ y λ menos mundanos con V _κ ≺ V _λ .
• El κ menos mundano de cofinalidad ω ₁ (corresponde a la extensión del elemento anterior a una cadena de longitud ω ₁ ).
• El κ menos mundano de cofinalidad ω ₂ (y así sucesivamente).
• El menor κ>ω con V _κ que satisface el reemplazo para el lenguaje aumentado con la relación de satisfacción ( V _κ ,∈).
• El menor κ inaccesible en L _κ ( V _κ ); equivalentemente, el menor κ>ω con V _κ que satisface la sustitución de fórmulas en V _κ en la lógica infinitaria L _∞,ω .
• El menor κ con un modelo transitivo M⊂ V _κ+1 que extiende V _κ que satisface la teoría de conjuntos de Morse-Kelley .
• (no un cardenal mundano) El menor κ con V _κ que tiene la misma teoría Σ _{2 que} V_{${\displaystyle I}$}.
• El menor κ con V _κ y V_{${\displaystyle I}$}tener la misma teoría.
• El menor κ con L _κ ( V _κ ) y L_{${\displaystyle I}$}( V_{${\displaystyle I}$}) teniendo la misma teoría.
• (no un cardenal mundano) El menor κ con V _κ y V_{${\displaystyle I}$}tener la misma teoría Σ ₂ con parámetros reales.
• (no un cardenal mundano) El menor κ con V _κ ≺ _{Σ 2} V_{${\displaystyle I}$}.
• El menor κ con V _κ ≺ V_{${\displaystyle I}$}.
• El κ infinito más pequeño con V _κ y V_{${\displaystyle I}$}que satisfacen las mismas afirmaciones L _∞,ω que están en V _κ .
• El menor κ con un modelo transitivo M⊂ V _κ+1 que extiende V _κ y satisface las mismas oraciones con parámetros en V _κ que V_{${\displaystyle I+1}$}hace.
• El cardenal menos inaccesible${\displaystyle I}$.

• Cardenal mundano en el ático de Cantor