Distribución de Lévy envuelta

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución de Lévy envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución de Lévy alrededor del círculo unitario .

El pdf de la distribución de Lévy envuelta es

${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\, {\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$

donde el valor del sumando se toma como cero cuando , es el factor de escala y es el parámetro de ubicación. Expresando la función de densidad de probabilidad anterior en términos de la función característica de la distribución de Lévy se obtiene: ${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización \mu}$

${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-in(\theta -\mu )-{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn} {n})}={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{-{\sqrt {cn}}}\cos \left(n(\theta -\mu )-{\sqrt {cn}}\,\right)\right)}$

En términos de la variable circular, los momentos circulares de la distribución de Lévy envuelta son la función característica de la distribución de Lévy evaluada en argumentos enteros: ${\displaystyle z=e^{i\theta}}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{en\theta }\,f_{WL}(\theta ;\mu ,c)\,d\theta =e^{en\mu -{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn}(n))}.}$

donde es un intervalo de longitud . El primer momento es entonces el valor esperado de z , también conocido como resultante media o vector resultante media: ${\displaystyle \Gamma \,}$${\estilo de visualización 2\pi}$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -{\sqrt {c}}(1-i)}}$

El ángulo medio es

${\displaystyle \theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu +{\sqrt {c}}}$

y la longitud de la resultante media es

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-{\sqrt {c}}}}$

• Distribución envuelta
• Estadísticas direccionales

• Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6. Consultado el 9 de febrero de 2010 .