Potencial elástico de Wu

En física matemática , el potencial de Wu-Sprung , que recibe su nombre de Hua Wu y Donald Sprung, es una función potencial en una dimensión dentro de un hamiltoniano.${\displaystyle H=p^{2}+f(x)}$con el potencial definido al resolver una ecuación integral no lineal definida por las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld que involucran la escalera espectral, las energías${\displaystyle E_{n}}$y el potencial${\displaystyle f(x)}$. $${\displaystyle \oint p\,dq=2\pi n(E)=4\int _{0}^{a}dx{\sqrt {E_{n}-f(x)}}}$$ Aquí hay un punto de inflexión clásico, así que${\displaystyle E=f(a)=f(-a)}$Las energías cuánticas del modelo son las raíces de la función de Riemann Xi.${\textstyle \xi {\left({\frac {1}{2}}+i{\sqrt {E_{n}}}\right)}=0}$y${\displaystyle f(x)=f(-x)}$En general, aunque Wu y Sprung consideraron solo la parte suave, el potencial se define implícitamente por${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {\pi }}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}N(x)}$; donde N ( x ) es la escalera de valores propios${\textstyle N(x)=\sum _ {n=0}^{\infty }H(x-E_{n})}$y H ( x ) es la función escalón de Heaviside .

Para el caso de los ceros de Riemann , Wu y Sprung y otros han demostrado que el potencial se puede escribir implícitamente en términos de la función Gamma y la función de Bessel de orden cero .

$${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {2}{\sqrt {4x+1}}}+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-{\sqrt {x}}}^{\sqrt {x}}{\frac {dr}{\sqrt {xr^{2}}}}\left({\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1}{4}}+{\frac {ir}{2}}\right)-\ln \pi \right)-\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{2{\sqrt {n}}}}J_{0}\left({\sqrt {x}}\ln n\right)}$$

y que la densidad de estados de este hamiltoniano es simplemente la fórmula de Delsarte para la función zeta de Riemann y definida semiclasicamente como${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}f^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\delta (x-E_{n})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\delta \left(x-\gamma _{n}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\delta \left(x+\gamma _{n}\right)={}&{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\zeta }{\zeta }}\left({\frac {1}{2}}+ix\right)+{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\zeta '}{\zeta }}\left({\frac {1}{2}}-ix\right)-{\frac {\ln \pi }{2\pi }}\\[10pt]&{}+{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1}{4}}+i{\frac {x}{2}}\right){\frac {1}{4\pi }}+{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1}{4}}-i{\frac {x}{2}}\right){\frac {1}{4\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\delta \left(x-{\frac {i}{2}}\right)+{\frac {1}{\pi }}\delta \left(x+{\frac {i}{2}}\right)\end{aligned}}}$$

Aquí han tomado la derivada del producto de Euler en la línea crítica.${\textstyle {\frac {1}{2}}+is}$; también utilizan la función generadora de Dirichlet${\textstyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)e^{-slnn}}$.${\displaystyle \Lambda (n)}$es la función de Mangoldt .

La idea principal de Wu y Sprung y otros es interpretar la densidad de estados como la fórmula distribucional de Delsarte y luego usar el método WKB para evaluar la parte imaginaria de los ceros usando la mecánica cuántica .

Wu y Sprung también demostraron que el determinante funcional regularizado por zeta es la función Xi de Riemann.${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H-s(1-s)+{\frac {1}{4}})}{\det(H+{\frac {1}{4}})}}}$

La idea principal de este problema es recuperar el potencial a partir de datos espectrales, como en algunos problemas espectrales inversos. En este caso, los datos espectrales son la escalera de valores propios, que es una propiedad cuántica del sistema. El inverso del potencial satisface una ecuación integral de Abel (cálculo fraccional) que se puede resolver inmediatamente para obtener el potencial.

Para valores grandes de x , si tomamos solo la parte suave de la escalera de valores propios${\textstyle N(E)\sim {\frac {\sqrt {E}}{2\pi }}\log \left({\frac {\sqrt {E}}{2\pi e}}\right)}$, entonces el potencial como${\displaystyle |x|\to \infty }$es positivo y viene dado por la expresión asintótica${\displaystyle f(-x)=f(x)\sim 4\pi ^{2}e^{2}\left({\frac {2\epsilon {\sqrt {\pi }}x+B}{A(\epsilon )}}\right)^{2/\epsilon }}$con${\displaystyle A(\epsilon )={\frac {\Gamma {\left({\frac {3+\epsilon }{2}}\right)}}{\Gamma {\left(1+{\frac {\epsilon }{2}}\right)}}}}$y${\displaystyle B=A(0)}$en el límite${\displaystyle \epsilon \to 0}$. Este potencial es aproximadamente un potencial de Morse con${\displaystyle 16\pi ^{2}e^{8|x|}}$

La asintótica de las energías depende del número cuántico n como${\textstyle E_{n}={\frac {4\pi ^{2}n^{2}}{W^{2}(ne^{-1})}}}$, donde W es la función W de Lambert .

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