Construcción Wythoff

En geometría , una construcción de Wythoff , que recibe su nombre del matemático Willem Abraham Wythoff , es un método para construir un poliedro uniforme o un teselado plano . A menudo se la conoce como la construcción caleidoscópica de Wythoff .

El método se basa en la idea de recubrir una esfera con triángulos esféricos (véase triángulos de Schwarz) . Esta construcción consiste en colocar tres espejos en los lados de un triángulo, como en un caleidoscopio . Sin embargo, a diferencia de un caleidoscopio, los espejos no son paralelos, sino que se intersecan en un único punto. De este modo, forman un triángulo esférico sobre la superficie de cualquier esfera centrada en ese punto, y las reflexiones repetidas producen multitud de copias del triángulo. Si se eligen adecuadamente los ángulos del triángulo esférico, los triángulos recubrirán la esfera una o más veces.

Si se coloca un vértice en un punto adecuado dentro del triángulo esférico delimitado por los espejos, es posible asegurar que las reflexiones de ese punto produzcan un poliedro uniforme. Para un triángulo esférico ABC, tenemos cuatro posibilidades que producirán un poliedro uniforme:

1. Se coloca un vértice en el punto A. Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a | b c , donde a es igual a π dividido por el ángulo del triángulo en A , y de manera similar para b y c . 
2. Se coloca un vértice en un punto de la línea AB de manera que biseca el ángulo en C. Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a b | c . 
3. Se coloca un vértice de manera que esté en el incentro de ABC . Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a b c |.  
4. El vértice se encuentra en un punto tal que, al girarlo alrededor de cualquiera de las esquinas del triángulo el doble del ángulo en ese punto, se desplaza la misma distancia para cada ángulo. Solo se utilizan reflexiones pares del vértice original. El poliedro tiene el símbolo de Wythoff | a b c .  

El proceso en general también se aplica a politopos regulares de dimensiones superiores , incluidos los 4 -politopos uniformes de 4 dimensiones .

Los politopos uniformes que no pueden crearse mediante una construcción de espejo de Wythoff se denominan no wythoffianos. Generalmente, pueden derivarse de formas wythoffianas mediante alternancia (eliminación de vértices alternos) o mediante la inserción de capas alternas de figuras parciales. Ambos tipos de figuras presentan simetría rotacional. En ocasiones, las formas truncadas se consideran wythoffianas, aunque solo pueden construirse mediante la alternancia de formas omnitruncadas.

• Diagrama de Coxeter-Dynkin : un símbolo generalizado para la construcción de Wythoff de politopos uniformes y panales de abeja.
• Símbolo de Wythoff : un símbolo para la construcción de Wythoff de poliedros uniformes y teselaciones uniformes.

• Politopos regulares de Coxeter , tercera edición, (1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8(Capítulo V: El caleidoscopio, Sección: 5.7 La construcción de Wythoff)
• Coxeter, La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8(Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
• Har'El, Z. Solución uniforme para poliedros uniformes. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993.(Sección 4: El caleidoscopio)
• WA Wythoff , Una relación entre los politopos de la familia C600 , Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Actas de la Sección de Ciencias, 20 (1918) 966–970.

• Applet de Greg Egan para mostrar poliedros uniformes utilizando el método de construcción de Wythoff.
• Renderización en Shadertoy del método de construcción de Wythoff. Archivado el 27/02/2021 en Wayback Machine.
• Jenn , software que genera vistas de poliedros (esféricos) y policoros de diferentes grupos de simetría.