ecuación de Yang-Baxter

En física , la ecuación de Yang-Baxter (o relación estrella-triángulo ) es una ecuación de consistencia que se introdujo por primera vez en el campo de la mecánica estadística . Depende de la idea de que, en algunas situaciones de dispersión, las partículas pueden conservar su momento mientras cambian sus estados internos cuánticos. Establece que una matriz${\displaystyle R}$, actuando sobre dos de los tres objetos, satisface

$${\displaystyle ({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )=(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}),}$$

dónde${\displaystyle {\check {R}}}$es${\displaystyle R}$seguido de un intercambio de los dos objetos. En sistemas cuánticos unidimensionales,${\displaystyle R}$es la matriz de dispersión y si satisface la ecuación de Yang-Baxter, entonces el sistema es integrable . En los modelos cuánticos integrables, la ecuación de Yang-Baxter garantiza que los procesos de dispersión de múltiples partículas se pueden factorizar en una secuencia de interacciones de dos cuerpos, preservando la solubilidad exacta. ^{[ 1 ]} La ecuación de Yang-Baxter también aparece al discutir la teoría de nudos y los grupos de trenzas donde${\displaystyle R}$corresponde a intercambiar dos hebras. Dado que se pueden intercambiar tres hebras de dos maneras diferentes, la ecuación de Yang-Baxter garantiza que ambos caminos sean iguales.

Según Michio Jimbo , ^{[ 2 ]} la ecuación de Yang-Baxter (YBE) se manifestó en los trabajos de JB McGuire ^{[ 3 ]} en 1964 y CN Yang ^{[ 4 ]} en 1967. Consideraron un problema de muchos cuerpos de mecánica cuántica en una línea que tiene${\displaystyle c\sum _{i<j}\delta (x_{i}-x_{j})}$como el potencial. Utilizando las técnicas del ansatz de Bethe , encontraron que la matriz de dispersión se factorizaba a la del problema de dos cuerpos y la determinaron con exactitud. Este resultado estableció la ecuación de Yang-Baxter como el criterio definitorio para la integrabilidad cuántica, vinculando la dispersión factorizada en una dimensión con modelos exactamente solubles. ^{[ 5 ]} Aquí, la YBE surge como la condición de consistencia para la factorización.

En mecánica estadística , el origen de la ecuación de Young probablemente se remonta a la relación estrella-triángulo de Onsager, mencionada brevemente en la introducción a su solución del modelo de Ising ^{[ 6 ]} en 1944. La búsqueda de modelos reticulares resolubles se ha llevado a cabo activamente desde entonces, culminando en la solución de Rodney Baxter del modelo de ocho vértices ^{[ 7 ]} en 1972.

Otra línea de desarrollo fue la teoría de la matriz S factorizada en la teoría cuántica de campos bidimensional . ^{[ 8 ]} Alexander B. Zamolodchikov señaló ^{[ 9 ]} que la mecánica algebraica que opera aquí es la misma que en los trabajos de Baxter y otros.

El YBE también se ha manifestado en un estudio de operadores de Young en el álgebra de grupos.${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$del grupo simétrico en el trabajo de AA Jucys ^{[ 10 ]} en 1966.

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un álgebra asociativa unitaria . En su forma más general, la ecuación de Yang-Baxter dependiente de parámetros es una ecuación para${\displaystyle R(u,u')}$, un elemento dependiente de parámetros del producto tensorial${\displaystyle A\otimes A}$(aquí,${\displaystyle u}$y${\displaystyle u'}$son los parámetros, que generalmente abarcan los números reales ℝ en el caso de un parámetro aditivo, o los números reales positivos ℝ ⁺ en el caso de un parámetro multiplicativo).

Dejar${\displaystyle R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))}$para${\displaystyle 1\leq i<j\leq 3}$, con homomorfismos de álgebra${\displaystyle \phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$determinado por

$${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$$

$${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$$

$${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$$

La forma general de la ecuación de Yang-Baxter es

$${\ Displaystyle R_ {12} (u_ {1}, u_ {2}) \ R_ {13} (u_ {1}, u_ {3}) \ R_ {23}(u_ {2},u_ {3}) = R_ {23}(u_ {2},u_ {3}) \ R_ {13}(u_ {1},u_ {3}) \ R_ {12}(u_ {1}, u_ {2}),}$$

para todos los valores de${\displaystyle u_{1}}$,${\displaystyle u_{2}}$y${\displaystyle u_{3}}$.

Dejar${\displaystyle V}$ser un módulo de${\displaystyle A}$, y ${\displaystyle P_{ij}=\phi _{ij}(P)}$. Dejar${\displaystyle P:V\otimes V\to V\otimes V}$sea ​​la aplicación lineal que satisface${\displaystyle P(x\otimes y)=y\otimes x}$a pesar de${\displaystyle x,y\in V}$La ecuación de Yang-Baxter tiene entonces la siguiente forma alternativa en términos de${\displaystyle {\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')}$en${\displaystyle V\otimes V}$.

$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} ).}$$

Alternativamente, podemos expresarlo con la misma notación que la anterior, definiendo${\displaystyle {\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))}$, en cuyo caso la forma alternativa es

$${\displaystyle {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).}$$

En el caso especial independiente de parámetros donde${\displaystyle {\check {R}}}$no depende de parámetros, la ecuación se reduce a

$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} ),}$$

y (si${\displaystyle R}$es invertible) una representación del grupo de trenzas ,${\displaystyle B_{n}}$, se puede construir en${\displaystyle V^{\otimes n}}$por${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}}$para${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$Esta representación puede utilizarse para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y enlaces .

Las soluciones a la ecuación de Yang-Baxter a menudo están restringidas por el requisito de que${\displaystyle R}$matriz que debe ser invariante bajo la acción de un grupo de Lie${\displaystyle G}$Por ejemplo, en el caso${\displaystyle G=GL(V)}$y${\displaystyle R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)}$, el único${\displaystyle G}$-mapas invariantes en${\displaystyle {\text{End}}(V\otimes V)}$son la identidad${\displaystyle I}$y el mapa de permutación${\displaystyle P}$. La forma general de la${\displaystyle R}$-matriz es entonces${\displaystyle R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P}$para funciones escalares${\displaystyle A,B}$.

La ecuación de Yang-Baxter es homogénea en dependencia de parámetros en el sentido de que si se define${\displaystyle R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})}$, dónde${\displaystyle f}$es una función escalar, entonces${\displaystyle R'}$También satisface la ecuación de Yang-Baxter.

El espacio de argumentos en sí mismo puede tener simetría. Por ejemplo, la invariancia de traslación impone que la dependencia de los argumentos${\displaystyle (u,u')}$debe depender únicamente de la diferencia invariante a la traslación${\displaystyle u-u'}$, mientras que la invariancia de escala impone que${\displaystyle R}$es una función de la relación invariante de escala${\displaystyle u/u'}$.

Una ansatz común para calcular soluciones es la propiedad de diferencia,${\displaystyle R(u,u')=R(u-u')}$donde R depende únicamente de un único parámetro (aditivo). De forma equivalente, tomando logaritmos, podemos elegir la parametrización${\displaystyle R(u,u')=R(u/u')}$, en cuyo caso se dice que R depende de un parámetro multiplicativo. En esos casos, podemos reducir la ecuación de Young a dos parámetros libres en una forma que facilita los cálculos:

$${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),}$$

para todos los valores de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$Para un parámetro multiplicativo, la ecuación de Yang-Baxter es:

$${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),}$$

para todos los valores de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$.

Las formas trenzadas se leen como:

$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$$$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$$

En algunos casos, el determinante de${\displaystyle R(u)}$puede desaparecer en valores específicos del parámetro espectral${\displaystyle u=u_{0}}$. Alguno${\displaystyle R}$Las matrices se convierten en un proyector unidimensional en ${\displaystyle u=u_{0}}$En este caso se puede definir un determinante cuántico .

Drinfeld estudió soluciones basadas en la teoría de conjuntos . ^{[ 11 ]} En este caso, hay una${\displaystyle R}$-base invariante de matriz${\displaystyle X}$para el espacio vectorial${\displaystyle V}$en el sentido de que el${\displaystyle R}$-matrix mapea la base inducida de${\displaystyle V\otimes V}$a sí mismo. Esto luego induce un mapa${\displaystyle r:X\times X\rightarrow X\times X}$dado por restricción de la${\displaystyle R}$-matrix to the basis. The set-theoretic Yang–Baxter equation is then defined using the 'twisted' alternate form above, asserting $${\displaystyle (id\times r)(r\times id)(id\times r)=(r\times id)(id\times r)(r\times id)}$$ as maps on ${\displaystyle X\times X\times X}$. The equation can then be considered purely as an equation in the category of sets.

Solutions to the classical YBE were studied and to some extent classified by Belavin and Drinfeld.^[12] Given a 'classical ${\displaystyle r}$-matrix' ${\displaystyle r:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$, which may also depend on a pair of arguments ${\displaystyle (u,v)}$, the classical YBE is (suppressing parameters) $${\displaystyle [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0}$$ This is quadratic in the ${\displaystyle r}$-matrix, unlike the usual quantum YBE which is cubic in ${\displaystyle R}$.

This equation emerges from so called quasi-classical solutions to the quantum YBE, in which the ${\displaystyle R}$-matrix admits an asymptotic expansion in terms of an expansion parameter ${\displaystyle \hbar ,}$$${\displaystyle R_{\hbar }=I+\hbar r+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2}).}$$ The classical YBE then comes from reading off the ${\displaystyle \hbar ^{2}}$ coefficient of the quantum YBE (and the equation trivially holds at orders ${\displaystyle \hbar ^{0},\hbar }$).

• Lie bialgebra
• Yangian
• Reidemeister move
• Quasitriangular Hopf algebra
• Yang–Baxter operator

• "Ecuación de Yang-Baxter" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Actas del 8º Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Clausthal, Alemania, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Guía de grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Jacques HH Perk y Helen Au-Yang, "Yang - Ecuaciones de Baxter", (2006), arXiv : math-ph/0606053 .