Lema de Yoneda

Existe una versión contravariante del lema de Yoneda, ^{[ 3 ]} que se refiere a functores contravariantes de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$(también conocidos como prehaces ). Esta versión involucra el functor hom contravariante

${\displaystyle h^{A}(-)\equiv \mathrm {Hom} (-,A),}$

que envía${\displaystyle X}$al conjunto de inicio${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$Dado un functor contravariante arbitrario${\displaystyle G}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$El lema de Yoneda afirma que

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}$

Las biyecciones proporcionadas en el lema de Yoneda (covariante) (para cada${\displaystyle A}$y${\displaystyle F}$) son los componentes de un isomorfismo natural entre dos ciertos functores de${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$. ^{[ 4 ] : 61} Uno de los dos functores es el functor de evaluación

${\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

que envía un par${\displaystyle (f,\Phi )}$de un morfismo${\displaystyle f\colon A\to B}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y una transformación natural${\displaystyle \Phi \colon F\to G}$al mapa

${\displaystyle \Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).}$

Esto es suficiente para determinar el otro functor, ya que sabemos cuál es el isomorfismo natural. Bajo el segundo functor

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),}$

la imagen de un par${\displaystyle (f,\Phi )}$es el mapa

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}$

que envía una transformación natural${\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F}$a la transformación natural${\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}$, cuyos componentes son

${\displaystyle (\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).}$

El uso de${\displaystyle h_{A}}$para el functor hom covariante y${\displaystyle h^{A}}$para el hom-functor contravariante no es completamente estándar. Muchos textos ^{[ 5 ]} y artículos utilizan la convención opuesta o símbolos completamente no relacionados para estos dos functores. El EGA fundacional de Alexander Grothendieck también sigue la convención opuesta y define${\displaystyle h_{X}(Y)=\operatorname {Hom} (Y,X)}$^{[ 6 ]} . ^{[ b} ]

La regla mnemotécnica "caer en algo" puede ser útil para recordar que${\displaystyle h_{A}}$es el hom-functor covariante. Cuando la letra${\displaystyle A}$está cayendo (es decir, un subíndice),${\displaystyle h_{A}}$asigna a un objeto${\displaystyle X}$los morfismos de${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$.

Desde${\displaystyle \Phi }$es una transformación natural, tenemos el siguiente diagrama conmutativo :

Este diagrama muestra que la transformación natural${\displaystyle \Phi }$está completamente determinado por${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$ya que para cada morfismo${\displaystyle f\colon A\to X}$uno tiene

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

Además, cualquier elemento${\displaystyle u\in F(A)}$define una transformación natural de esta manera. La demostración en el caso contravariante es completamente análoga. ^{[ 1 ]}

Un caso especial importante del lema de Yoneda es cuando el functor${\displaystyle F}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$es otro functor hom${\displaystyle h_{B}}$En este caso, la versión covariante del lema de Yoneda establece que

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

Es decir, las transformaciones naturales entre functores hom están en correspondencia biunívoca con los morfismos (en la dirección inversa) entre los objetos asociados. Dado un morfismo${\displaystyle f\colon B\to A}$La transformación natural asociada se denota${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$.

Mapeo de cada objeto${\displaystyle A}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a su functor hom asociado${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$y cada morfismo${\displaystyle f\colon B\to A}$a la transformación natural correspondiente${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$determina un funtor contravariante${\displaystyle h_{\bullet }}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\text{op}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$, la categoría de funtores de todos los funtores (covariantes) de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$Uno puede interpretar${\displaystyle h_{\bullet }}$como un functor covariante :

${\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

El significado del lema de Yoneda en este contexto es que el functor${\displaystyle h_{\bullet }}$es totalmente fiel y, por lo tanto, proporciona una incrustación de${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$en la categoría de functores a${\displaystyle \mathbf {Set} }$. La colección de todos los functores${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$es una subcategoría de${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$. Por lo tanto, la incrustación de Yoneda implica que la categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$es isomorfo a la categoría${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$.

La versión contravariante del lema de Yoneda afirma que

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Por lo tanto,${\displaystyle h^{\bullet }}$da lugar a un functor covariante de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a la categoría de functores contravariantes a${\displaystyle \mathbf {Set} }$:

${\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

El lema de Yoneda afirma entonces que cualquier categoría localmente pequeña${\displaystyle {\mathcal {C}}}$puede estar incrustado en la categoría de functores contravariantes de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$a través de${\displaystyle h^{\bullet }}$Esto se denomina incrustación de Yoneda .

La incrustación de Yoneda a veces se denota por よ, el hiragana Yo . ^{[ 7 ]}

La incrustación de Yoneda esencialmente establece que para cada categoría (localmente pequeña), los objetos en esa categoría pueden representarse mediante prehaces de manera completa y fiel. Es decir,

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)}$

para un prehaz P. Muchas categorías comunes son, de hecho, categorías de prehaces, y tras un análisis más detallado, resultan ser categorías de haces . Dado que tales ejemplos suelen ser de naturaleza topológica, pueden considerarse topoi en general. El lema de Yoneda proporciona un punto de partida para estudiar y comprender la estructura topológica de una categoría.

Dadas dos categorías${\displaystyle \mathbf {C} }$y${\displaystyle \mathbf {D} }$con dos functores${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$, las transformaciones naturales entre ellos se pueden escribir como el siguiente final . ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

Para cualquier functor${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set} }$y${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$Las siguientes fórmulas son todas formulaciones del lema de Yoneda. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría pequeña, ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$un functor y${\displaystyle [{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]}$la categoría de prehazillos , su extensión de Yoneda ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\tilde {F}}:[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]\rightarrow {\mathcal {D}}}$

es la extensión Kan izquierda${\displaystyle \mathrm {Lan} _{H^{\bullet }}F:[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} ]\rightarrow {\mathcal {D}}}$de${\displaystyle F}$a lo largo de la incrustación de Yoneda${\displaystyle H^{\bullet }}$:

${\displaystyle {\tilde {F}}:=\mathrm {Lan} _{H^{\bullet }}F}$