Subgrupo joven

En matemáticas , los subgrupos de Young del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$son subgrupos especiales que surgen en combinatoria y teoría de la representación . Cuando${\displaystyle S_{n}}$se considera como el grupo de permutaciones del conjunto${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$y si${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell })}$es una partición entera de${\displaystyle n}$, luego el subgrupo Young${\displaystyle S_{\lambda }}$indexado por${\displaystyle \lambda }$se define por $${\displaystyle S_{\lambda }=S_{\{1,2,\ldots ,\lambda _{1}\}}\times S_{\{\lambda _{1}+1,\lambda _{1}+2,\ldots ,\lambda _{1}+\lambda _{2}\}}\times \cdots \times S_{\{n-\lambda _{\ell }+1,n-\lambda _{\ell }+2,\ldots ,n\}},}$$ dónde${\displaystyle S_{\{a,b,\ldots \}}}$denota el conjunto de permutaciones de${\displaystyle \{a,b,\ldots \}}$y${\displaystyle \times }$denota el producto directo de grupos . En abstracto,${\displaystyle S_{\lambda }}$es isomorfo al producto${\displaystyle S_{\lambda _{1}}\times S_{\lambda _{2}}\times \cdots \times S_{\lambda _{\ell }}}$Los subgrupos jóvenes reciben su nombre de Alfred Young . ^{[ 1 ]}

Cuando${\displaystyle S_{n}}$Se considera un grupo de reflexión , y sus subgrupos de Young son precisamente sus subgrupos parabólicos . De forma equivalente, pueden definirse como los subgrupos generados por un subconjunto de las transposiciones adyacentes.${\displaystyle (1\ 2),(2\ 3),\ldots ,(n-1\ n)}$. ^{[ 2 ]}

En algunos casos, el nombre subgrupo Young se utiliza de forma más general para el producto.${\displaystyle S_{B_{1}}\times \cdots \times S_{B_{\ell }}}$, dónde${\displaystyle \{B_{1},\ldots ,B_{\ell }\}}$es cualquier partición de conjunto de${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$(es decir, una colección de subconjuntos disjuntos y no vacíos cuya unión es${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$). ^{[ 3 ]} Esta familia más general de subgrupos consta de todos los conjugados de aquellos bajo la definición anterior. ^{[ 4 ]} Estos subgrupos también pueden caracterizarse como los subgrupos de${\displaystyle S_{n}}$que se generan mediante un conjunto de transposiciones . ^{[ 5 ]}

• Borevich, ZI ; Gavron, PV (1985), "Disposición de subgrupos de Young en el grupo simétrico", Journal of Soviet Mathematics , 30 : 1816–1823 , doi : 10.1007/BF02105094
• "Subgrupo joven" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]