Teorema Z*

En matemáticas, el teorema Z* de George Glauberman se enuncia de la siguiente manera:

Teorema Z*: Sea G un grupo finito , con O ( G ) siendo su subgrupo normal maximal de orden impar . Si T es un subgrupo de Sylow 2 de G que contiene una involución no conjugada en G a ningún otro elemento de T , entonces la involución está en Z* ( G ), que es la imagen inversa en G del centro de G / O ( G ).

Esto generaliza el teorema de Brauer-Suzuki (y la demostración utiliza el teorema de Brauer-Suzuki para tratar algunos casos pequeños).

El artículo original de Glauberman (1966) dio varios criterios para que un elemento se encuentre fuera de Z* ( G ). Su teorema 4 establece:

Para un elemento t en T , es necesario y suficiente para que t se encuentre fuera de Z* ( G ) que exista algún g en G y un subgrupo abeliano U de T que satisfaga las siguientes propiedades:

1. g normaliza tanto a U como al centralizador C _T ( U ), es decir, g está contenido en N = N _G ( U ) ∩ N _G ( C _T ( U ))
2. t está contenido en U y tg ≠ gt
3. U se genera mediante los N -conjugados de t
4. El exponente de U es igual al orden de t.

Además, g puede elegirse de manera que tenga un orden de potencia prima si t está en el centro de T , y g puede elegirse en T en caso contrario.

Un corolario simple es que un elemento t en T no está en Z* ( G ) si y solo si hay algún s ≠ t tal que s y t conmutan y s y t son G -conjugados.

Una generalización a primos impares fue registrada en Guralnick y Robinson (1993) : si t es un elemento de orden primo p y el conmutador [ t , g ] tiene orden coprimo a p para todo g , entonces t es central módulo el núcleo p ' . Esto también fue generalizado a primos impares y a grupos de Lie compactos en Mislin y Thévenaz (1991) , que también contiene varios resultados útiles en el caso finito.

Henke y Semeraro (2015) también han estudiado una extensión del teorema Z* a pares de grupos ( G , H ) con H un subgrupo normal de G .