Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Marco del centro de momento

En física , el sistema de referencia del centro de momento ( sistema de referencia del centro de momento ), también conocido como sistema de referencia de momento cero , es el s...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En física , el sistema de referencia del centro de momento ( sistema de referencia del centro de momento ), también conocido como sistema de referencia de momento cero , es el sistema inercial en el que el momento total del sistema se anula. Es único salvo por la velocidad, pero no por el origen. El centro de momento de un sistema no es una ubicación, sino un conjunto de momentos/velocidades relativas: un sistema de referencia. Por lo tanto, "centro de momento" es una abreviatura de " sistema de referencia del centro de momento ". [ 1 ]

Un caso especial del sistema de referencia del centro de momento es el sistema de referencia del centro de masa : un sistema inercial en el que el centro de masa (que es un único punto) permanece en el origen. En todos los sistemas de referencia del centro de momento, el centro de masa está en reposo , pero no necesariamente en el origen del sistema de coordenadas. En la relatividad especial , el sistema de referencia del centro de masa solo es necesariamente único cuando el sistema está aislado.

Propiedades

General

El sistema de referencia del centro de momento se define como el sistema inercial en el que la suma de los momentos lineales de todas las partículas es igual a 0. Sea S el sistema de referencia del laboratorio y S ′ el sistema de referencia del centro de momento. Utilizando una transformación galileana , la velocidad de la partícula en S ′ es

v′=v−Vdo,{\displaystyle v'=v-V_{\text{c}},}

dónde

Vdo=∑imetroivi∑imetroi{\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}

es la velocidad del centro de masas. El momento total en el sistema del centro de momento se anula entonces:

∑ipagi′=∑imetroivi′=∑imetroi(vi−Vdo)=∑imetroivi−∑imetroi∑jmetrojvj∑jmetroj=∑imetroivi−∑jmetrojvj=0.{\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{\text{c}})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}

Además, la energía total del sistema es la energía mínima vista desde todos los sistemas de referencia inerciales .

relatividad especial

En relatividad , el sistema de referencia del centro de masas (COM) existe para un sistema masivo aislado. Esto es consecuencia del teorema de Noether . En el sistema de referencia del COM , la energía total del sistema es la energía en reposo , y esta cantidad (cuando se divide por el factor c² , donde c es la velocidad de la luz ) da la masa invariante ( masa en reposo ) del sistema:

metro0=mi0do2.{\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}

La masa invariante del sistema viene dada en cualquier sistema de referencia inercial por la relación invariante relativista.

metro02=(mido2)2−(pagdo)2,{\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}

pero para momento cero el término de momento ( p / c ) 2 se anula y por lo tanto la energía total coincide con la energía en reposo.

Los sistemas que poseen energía distinta de cero pero masa en reposo cero (como los fotones que se mueven en una sola dirección o, equivalentemente, las ondas electromagnéticas planas ) no tienen sistema de referencia del centro de masas, ya que no existe un sistema en el que su momento neto sea cero. Debido a la invariancia de la velocidad de la luz , un sistema sin masa debe viajar a la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia y siempre posee un momento neto. Su energía es, para cada sistema de referencia, igual a la magnitud del momento multiplicada por la velocidad de la luz.

mi=pagdo.{\displaystyle E=pc.}

Problema de dos cuerpos

A continuación se muestra un ejemplo del uso de este sistema de referencia: en una colisión de dos cuerpos, no necesariamente elástica (donde se conserva la energía cinética ). El sistema de referencia del centro de masas (COM) se puede utilizar para encontrar el momento de las partículas mucho más fácilmente que en un sistema de referencia del laboratorio : el sistema de referencia donde se realiza la medición o el cálculo. La situación se analiza utilizando transformaciones galileanas y la conservación del momento (para mayor generalidad, en lugar de solo energías cinéticas), para dos partículas de masa m 1 y m 2 , que se mueven a velocidades iniciales (antes de la colisión) u 1 y u 2 respectivamente. Las transformaciones se aplican para llevar la velocidad del sistema de referencia desde la velocidad de cada partícula del sistema de referencia del laboratorio (cantidades sin prima) al sistema de referencia del centro de masas (cantidades con prima): [ 1 ]

tú1′=tú1−V,tú2′=tú2−V,{\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} ,}

donde V es la velocidad del sistema de coordenadas del centro de masas (CM). Dado que V es la velocidad del CM, es decir, la derivada temporal de la posición del CM R (posición del centro de masas del sistema): [ 2 ]

dRdt=ddt(metro1r1+metro2r2metro1+metro2)=metro1tú1+metro2tú2metro1+metro2=V{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}

por lo que en el origen del sistema de coordenadas COM, R' = 0 , esto implica

metro1tú1′+metro2tú2′=0{\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}

Los mismos resultados se pueden obtener aplicando la conservación del momento en el sistema de referencia del laboratorio, donde los momentos son p 1 y p 2 :

V=pag1+pag2metro1+metro2=metro1tú1+metro2tú2metro1+metro2{\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

y en el sistema de referencia del centro de masas, donde se afirma de manera definitiva que los momentos totales de las partículas, p 1 ′ y p 2 ′, se anulan:

pag1′+pag2′=metro1tú1′+metro2tú2′=0.{\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}.}

Al utilizar la ecuación del sistema de referencia del centro de masas (COM) para despejar V , se obtiene la ecuación del sistema de referencia del laboratorio mencionada anteriormente, lo que demuestra que cualquier sistema de referencia (incluido el del centro de masas) puede utilizarse para calcular los momentos de las partículas. Se ha comprobado que la velocidad del sistema de referencia del centro de masas puede eliminarse del cálculo utilizando dicho sistema, de modo que los momentos de las partículas en el sistema de referencia del centro de masas pueden expresarse en términos de las magnitudes del sistema de referencia del laboratorio (es decir, los valores iniciales dados).

pag1′=metro1tú1′=metro1(tú1−V)=metro1metro2metro1+metro2(tú1−tú2)=−metro2tú2′=−pag2′.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{alineado}}.}

Nótese que la velocidad relativa en el sistema de referencia del laboratorio de la partícula 1 a la 2 es

Δtú=tú1−tú2{\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}

y la masa reducida de 2 cuerpos es

μ=metro1metro2metro1+metro2{\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

de modo que los momentos de las partículas se reducen de forma compacta a

pag1′=−pag2′=μΔtú.{\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} .}

Este es un cálculo sustancialmente más simple de los momentos de ambas partículas; la masa reducida y la velocidad relativa se pueden calcular a partir de las velocidades iniciales en el sistema de referencia del laboratorio y las masas, y el momento de una partícula es simplemente el negativo de la otra. El cálculo se puede repetir para velocidades finales v 1 y v 2 en lugar de las velocidades iniciales u 1 y u 2 , ya que después de la colisión las velocidades aún satisfacen las ecuaciones anteriores: [ 3 ]

dRdt=ddt(metro1r1+metro2r2metro1+metro2)=metro1v1+metro2v2metro1+metro2=V{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}

por lo que en el origen del sistema de coordenadas COM, R = 0 , esto implica después de la colisión

metro1v1′+metro2v2′=0{\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}

En el marco de referencia del laboratorio, la conservación del momento se expresa completamente de la siguiente manera:

metro1tú1+metro2tú2=metro1v1+metro2v2=(metro1+metro2)V{\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }

Esta ecuación no implica que

metro1tú1=metro1v1=metro1V,metro2tú2=metro2v2=metro2V{\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }

En cambio, simplemente indica que la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masa V es el momento total P del sistema:

PAG=pag1+pag2=(metro1+metro2)V=METROV{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}

Se obtiene un análisis similar al anterior.

pag1′=−pag2′=μΔv=μΔtú,{\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} ,}

donde la velocidad relativa final en el sistema de referencia del laboratorio de la partícula 1 a la 2 es

Δv=v1−v2=Δtú.{\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Dinámica y relatividad, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
  2. ↑ Mecánica Clásica, TWB Kibble, European Physics Series, 1973, ISBN 0-07-084018-0
  3. ↑ Introducción a la mecánica , D. Kleppner, RJ Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9
Lecturas relacionadas
6 articulos
FísicaFísicaLa física es la ciencia natural de la materia , que implica el estudio de la materia, sus constituyentes fundamentales , su movimiento y comportami...{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}Marco de referencia inercialEn física clásica y relatividad especial , un marco de referencia inercial (también llamado espacio inercial o marco de referencia galileano ) es u...Página semiprotegidaImpulsoEn mecánica newtoniana , el momento lineal (pl.: momentos lineales o momentos lineales ) es el producto de la masa y la velocidad de un objeto. Es ...Centro de masaCentro de masaEn física , el centro de masa de una distribución de masa en el espacio (a veces denominado baricentro o punto de equilibrio ) es el único punto en...{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}InerciaLa inercia es la tendencia natural de los objetos en movimiento a permanecer en movimiento y de los objetos en reposo a permanecer en reposo, a men...Relatividad especialRelatividad especialAlbert Einstein alrededor de 1905, año en que se publicaron sus " Annus Mirabilis papers ", entre los que se encontraba Zur Elektrodynamik bewegter...