Topología de Zariski

En geometría algebraica y álgebra conmutativa , la topología de Zariski es una topología definida sobre objetos geométricos llamados variedades . Es muy diferente de las topologías que se usan comúnmente en análisis real o complejo ; en particular, no es la topología de Hausdorff . ^{[ 1 ]} Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y posteriormente generalizada para convertir el conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (llamado espectro del anillo) en un espacio topológico.

La topología de Zariski permite utilizar herramientas de la topología para estudiar variedades algebraicas , incluso cuando el cuerpo subyacente no es un cuerpo topológico . Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas , que permite construir variedades algebraicas generales mediante la unión de variedades afines de forma similar a como se hace en la teoría de variedades , donde las variedades se construyen mediante la unión de cartas , que son subconjuntos abiertos de espacios afines reales .

La topología de Zariski de una variedad algebraica es la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. ^{[ 1 ]} En el caso de una variedad algebraica sobre los números complejos , la topología de Zariski es, por lo tanto, más gruesa que la topología usual, ya que todo conjunto algebraico es cerrado para la topología usual.

La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se deriva del Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y los ideales maximales del anillo de sus funciones regulares . Esto sugiere definir la topología de Zariski en el conjunto de ideales maximales de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales maximales es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales maximales que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría de esquemas de Grothendieck es considerar como puntos no solo los puntos usuales correspondientes a ideales maximales, sino también todas las variedades algebraicas (irreducibles) que corresponden a ideales primos. Así, la topología de Zariski en el conjunto de ideales primos (espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.

En la geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas , introducidos por Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define en variedades algebraicas . ^{[ 2 ]} La topología de Zariski, definida en los puntos de la variedad, es la topología tal que los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. Como las variedades algebraicas más elementales son las variedades afines y proyectivas , es útil hacer esta definición más explícita en ambos casos. Suponemos que estamos trabajando sobre un cuerpo fijo, algebraicamente cerrado k (en geometría algebraica clásica, k suele ser el cuerpo de los números complejos ).

En geometría algebraica moderna, una variedad algebraica se representa a menudo mediante su esquema asociado , que es un espacio topológico (equipado con estructuras adicionales) que es localmente homeomorfo al espectro de un anillo . ^{[ 3 ]} El espectro de un anillo conmutativo${\displaystyle A,}$denotado${\displaystyle \operatorname {Spec} A,}$es el conjunto de los ideales primordiales de${\displaystyle A,}$equipada con la topología de Zariski , para la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos $${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}.}$$ dónde${\displaystyle I}$es un ideal. Escribiendo de nuevo${\displaystyle V(f)=V((f)),}$los conjuntos abiertos distinguidos (o conjuntos abiertos principales o básicos ) de${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$son los conjuntos${\displaystyle D(f)=(\operatorname {Spec} A)\setminus V(f)}$para elementos${\displaystyle f\in A.}$Estos conjuntos forman la base de la topología de Zariski.

Para ver la conexión con la imagen clásica, tenga en cuenta que para cualquier conjunto${\displaystyle S}$de polinomios (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado), se deduce del Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de${\displaystyle V(S)}$(en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in k^{n}}$de tal manera que el ideal generado por los polinomios${\displaystyle x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n}}$contiene${\displaystyle S;}$Además, estos son ideales maximales y, según el Nullstellensatz "débil", un ideal de cualquier anillo de coordenadas afines es maximal si y solo si es de esta forma. Por lo tanto,${\displaystyle V(S)}$es "lo mismo que" los ideales máximos que contienen${\displaystyle S.}$Para ser un poco más explícito, dejemos que...${\displaystyle \operatorname {Spm} A}$sea ​​el espectro máximo de un anillo conmutativo${\displaystyle A,}$el conjunto de sus ideales máximos, y dejemos${\displaystyle k}$sea ​​un cuerpo algebraicamente cerrado. Si${\displaystyle I}$es un ideal, entonces bajo la definición clásica de${\displaystyle V(\cdot ),}$Hay correspondencias uno a uno. $${\displaystyle V(I)\leftrightarrow \{{\mathfrak {m}}\in \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]\mid {\mathfrak {m}}\supseteq I\}\leftrightarrow \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$$ dado por $${\displaystyle a\leftrightarrow (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\leftrightarrow ({\overline {x_{1}}}-a_{1},\dots ,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$$ para${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I),}$dónde${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$son las imágenes de${\displaystyle x_{i}}$bajo la proyección natural${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I.}$Si${\displaystyle I}$es un ideal radical , entonces${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$es el anillo de coordenadas${\displaystyle k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(V)}$de${\displaystyle V=V(I),}$que podría considerarse como el anillo de funciones polinómicas${\displaystyle f:V\to k,}$las funciones regulares globales en${\displaystyle V.}$

La innovación de Grothendieck al definir Spec para anillos conmutativos generales fue reemplazar los ideales maximales con todos los ideales primos; en esta formulación, es natural simplemente generalizar la correspondencia entre el conjunto cerrado.${\displaystyle V(I)}$en el espacio afín y el subconjunto del espectro máximo del anillo de polinomios que contiene${\displaystyle I}$a la definición de un conjunto cerrado en el espectro (primo) de un anillo en el caso conmutativo general.

En otro enfoque, primero observamos que podemos reinterpretar un polinomio${\displaystyle f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$(${\displaystyle k}$nuevamente algebraicamente cerrado) como una función $${\displaystyle \operatorname {ev} _{f}\colon \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {m}}\cong k}$$ cartografía $${\displaystyle {\mathfrak {m}}\mapsto f{\bmod {\mathfrak {m}}}=f(a),}$$ dónde${\displaystyle a\in k^{n}}$es el punto al que${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$corresponde a través del Nullstellensatz débil . En otras palabras, mapeamos el ideal${\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}$a${\displaystyle f}$evaluado en${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in k^{n}.}$Podemos entonces considerar un elemento del anillo de polinomios como una función sobre los ideales maximales del anillo de polinomios. Además, observamos que $${\displaystyle \operatorname {ev} _{f}({\mathfrak {m}})=0\iff f\in {\mathfrak {m}},}$$ o, generalizando a un ideal${\displaystyle I,}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{f}({\mathfrak {m}})=0,\quad \forall f\in I\iff {\mathfrak {m}}\supseteq I.}$Podemos ver, pues,${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}\in \operatorname {Spm} k[x_{1},\dots ,x_{n}]\mid {\mathfrak {m}}\supseteq I\}}$como el conjunto común de "puntos" sobre los que se desarrollan todas las "funciones".${\displaystyle f\in I}$(más precisamente,${\displaystyle \{\operatorname {ev} _{f}\}_{f\in I}}$) desaparecer.

Generalizando este enfoque a anillos conmutativos arbitrarios, otra forma de interpretar la definición moderna (quizás más similar a la original) es darse cuenta de que los elementos de${\displaystyle A}$en realidad puede considerarse como una función de sus ideales primordiales,${\displaystyle \operatorname {Spec} A.}$Simplemente, cualquier ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$tiene un campo residual correspondiente , que es el campo de fracciones del cociente.${\displaystyle A/{\mathfrak {p}},}$y cualquier elemento de${\displaystyle A}$tiene una imagen en este campo residual. Además, los elementos que están realmente en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$son precisamente aquellos cuya imagen se desvanece en${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$Entonces, si pensamos en el mapa, asociado a cualquier elemento${\displaystyle \alpha }$de${\displaystyle A}$:$${\displaystyle \operatorname {ev} _{\alpha }\colon {\bigl (}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {\alpha {\bmod {\mathfrak {p}}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/{\mathfrak {p}})\right)}$$ ("evaluación de${\displaystyle \alpha }$"), que asigna a cada ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$la imagen de${\displaystyle \alpha }$en el campo residual de${\displaystyle {\mathfrak {p}},}$como una función en${\displaystyle \operatorname {Spec} A,}$cuyos valores, ciertamente, pueden estar en diferentes campos en diferentes puntos, entonces tenemos $${\displaystyle \operatorname {ev} _{\alpha }({\mathfrak {p}})=0\iff \alpha \in {\mathfrak {p}}.}$$ En términos más generales, para cualquier ideal${\displaystyle I,}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{\alpha }({\mathfrak {p}})=0,\quad \forall \alpha \in I\iff {\mathfrak {p}}\supseteq I,}$entonces${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}}$es el conjunto común de "puntos" sobre los que se ejecutan todas las "funciones".${\displaystyle \alpha \in I}$desaparecer, lo cual es formalmente análogo a la definición clásica. De hecho, como se señaló anteriormente, coinciden en el sentido de que cuando${\displaystyle A}$es el anillo de polinomios sobre algún cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle k,}$los ideales máximos de${\displaystyle A}$se identifican con${\displaystyle n}$-tuplas de elementos de${\displaystyle k,}$sus campos residuales son simplemente${\displaystyle k,}$y los mapas de "evaluación" son en realidad evaluaciones de polinomios en los correspondientes${\displaystyle n}$-tuplas. Para este caso especial, la definición clásica es esencialmente la definición moderna considerando solo ideales maximales, y la interpretación de la definición moderna como "conjuntos cero de funciones" coincide con la definición clásica donde ambas tienen sentido.

Así como Spec reemplaza las variedades afines, la construcción Proj reemplaza las variedades proyectivas en la geometría algebraica moderna. Al igual que en el caso clásico, para pasar de la definición afín a la proyectiva solo necesitamos reemplazar "ideal" por "ideal homogéneo", aunque existe una complicación relacionada con el "ideal maximal irrelevante", que se analiza en el artículo citado.

Ejemplos

• Especulación${\displaystyle k,}$el espectro de un campo${\displaystyle k}$es el espacio topológico con un elemento.
• Especulación${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$El espectro de los números enteros tiene un punto cerrado para cada número primo.${\displaystyle p}$correspondiente al ideal máximo${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} ,}$y un punto genérico no cerrado (es decir, cuya clausura es todo el espacio) correspondiente al ideal cero.${\displaystyle (0).}$Así pues, los subconjuntos cerrados de Spec${\displaystyle \mathbb {Z} }$son precisamente todo el espacio y las uniones finitas de puntos cerrados.
• Especulación${\displaystyle k[t],}$el espectro del anillo de polinomios sobre un cuerpo${\displaystyle k}$: dicho anillo de polinomios se conoce como un dominio ideal principal y los polinomios irreducibles son los elementos primos de${\displaystyle k[t].}$Si${\displaystyle k}$es algebraicamente cerrado , por ejemplo el campo de los números complejos , un polinomio no constante es irreducible si y solo si es lineal, de la forma${\displaystyle t-a,}$para algún elemento${\displaystyle a}$de${\displaystyle k.}$Así pues, el espectro consta de un punto cerrado para cada elemento.${\displaystyle a}$de${\displaystyle k}$y un punto genérico, correspondiente al ideal cero, y el conjunto de los puntos cerrados es homeomorfo con la línea afín.${\displaystyle k}$equipada con su topología de Zariski. Debido a este homeomorfismo, algunos autores utilizan el término línea afín para el espectro de${\displaystyle k[t].}$Si${\displaystyle k}$no es algebraicamente cerrado, por ejemplo el campo de los números reales , la imagen se vuelve más complicada debido a la existencia de polinomios irreducibles no lineales . En este caso, el espectro consta de un punto cerrado para cada polinomio irreducible mónico y un punto genérico correspondiente al ideal cero. Por ejemplo, el espectro de${\displaystyle \mathbb {R} [t]}$consta de los puntos cerrados${\displaystyle (x-a),}$para${\displaystyle a}$en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$los puntos cerrados${\displaystyle (x^{2}+px+q)}$dónde${\displaystyle p,q}$están en${\displaystyle \mathbb {R} }$y con discriminante negativo${\displaystyle p^{2}-4q<0,}$y finalmente un punto genérico${\displaystyle (0).}$Para cualquier campo, los subconjuntos cerrados de Spec${\displaystyle k[t]}$son uniones finitas de puntos cerrados y todo el espacio.

• Espacio espectral