Relación Zener

El índice de Zener es un número adimensional que se utiliza para cuantificar la anisotropía de los cristales cúbicos . A veces se le denomina índice de anisotropía y recibe su nombre de Clarence Zener . ^{[ 1 ]} Conceptualmente, cuantifica cuán lejos está un material de ser isótropo (donde el valor de 1 significa un material isótropo).

Su definición matemática es ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle a_{r}={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}},}$

dónde${\displaystyle C_{ij}}$Se refiere a las constantes elásticas en la notación de Voigt .

Los materiales cúbicos son materiales ortotrópicos especiales que son invariantes con respecto a rotaciones de 90° con respecto a los ejes principales, es decir, el material es el mismo a lo largo de sus ejes principales. Debido a estas simetrías adicionales, el tensor de rigidez se puede escribir con solo tres propiedades de material diferentes como

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}\quad .}$

La inversa de esta matriz se escribe comúnmente como ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}\\\end{bmatrix}}\quad .}$

dónde${\displaystyle {E}\,}$es el módulo de Young ,${\displaystyle G\,}$es el módulo de corte y${\displaystyle \nu \,}$es el coeficiente de Poisson . Por lo tanto, podemos pensar en este coeficiente como la relación entre el módulo de corte del material cúbico y su equivalente (isotrópico):

${\displaystyle a_{r}={\frac {G}{E/[2(1+\nu )]}}={\frac {2(1+\nu )G}{E}}\equiv {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}.}$

El coeficiente de Zener solo es aplicable a cristales cúbicos. Para superar esta limitación, se formuló un «Índice Universal de Anisotropía Elástica (AU)» ^{[ 4 ]} a partir de principios variacionales de elasticidad y álgebra tensorial. El AU se utiliza actualmente para cuantificar la anisotropía de cristales elásticos de todas las clases.

El índice de anisotropía tensorial A ^{T [ 5 ]} extiende la relación de Zener para materiales totalmente anisotrópicos y supera la limitación del AU, diseñado para materiales que presentan simetrías internas de cristales elásticos, lo cual no siempre se observa en compuestos multicomponentes. Considera los 21 coeficientes del tensor de rigidez totalmente anisotrópico y abarca las diferencias direccionales entre los grupos del tensor de rigidez.

Está compuesto por dos partes principales.${\displaystyle A^{I}}$y${\displaystyle A^{A}}$, el primero refiriéndose a componentes existentes en el tensor cúbico y el segundo en el tensor anisotrópico de modo que ${\displaystyle A^{T}=A^{I}+A^{A}.}$Este primer componente incluye la relación de Zener modificada y además tiene en cuenta las diferencias direccionales en el material, que existen en el material ortotrópico, por ejemplo. El segundo componente de este índice${\displaystyle A^{A}}$abarca la influencia de los coeficientes de rigidez que son distintos de cero solo para materiales no cúbicos y permanecen cero en los demás casos.

${\displaystyle A^{I}=A^{I,z}+A^{I,cov}={\frac {2(C_{44}+C_{55}+C_{66})}{(C_{11}+C_{22}+C_{33})-(C_{12}+C_{13}+C_{23})}}+\sum _{i=1}^{3}{\alpha (C_{Gi})},}$

dónde${\displaystyle \alpha (C_{Gi})}$es el coeficiente de variación para cada grupo de rigidez que tiene en cuenta las diferencias direccionales de rigidez del material, es decir${\displaystyle C_{G1}=[C_{11},C_{22},C_{33}],C_{G2}=[C_{44},C_{55},C_{66}],C_{G3}=[C_{12},C_{23},C_{13}].}$En los materiales cúbicos, cada componente de rigidez en los grupos 1-3 tiene el mismo valor y, por lo tanto, esta expresión se reduce directamente al coeficiente de Zener para materiales cúbicos.

El segundo componente de este índice${\displaystyle A^{A}}$es distinto de cero para materiales complejos o compuestos con pocas o ninguna simetría en su estructura interna. En tales casos, los coeficientes de rigidez restantes agrupados en tres conjuntos no son nulos.${\displaystyle C_{G4}=[C_{34},C_{45},C_{56}],C_{G5}=[C_{14},C_{25},C_{36}],C_{G6}=[C_{24},C_{35},C_{46},C_{15},C_{26},C_{16}].}$

• Anisotropía
• Material ortotrópico
• elasticidad lineal