Espacio de dimensión cero

En matemáticas , un espacio topológico de dimensión cero (o espacio nildimensional ) es un espacio topológico que tiene dimensión cero con respecto a una de varias nociones no equivalentes de asignación de una dimensión a un espacio topológico dado. ^[1] Una ilustración gráfica de un espacio de dimensión cero es un punto . ^[2]

Específicamente:

• Un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la dimensión de recubrimiento de Lebesgue si cada recubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento que es un recubrimiento por conjuntos abiertos disjuntos.
• Un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura finita a finita si cada cobertura abierta finita del espacio tiene un refinamiento que es una cobertura abierta finita tal que cualquier punto en el espacio está contenido en exactamente un conjunto abierto de este refinamiento.
• Un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la pequeña dimensión inductiva si tiene una base que consiste en conjuntos abiertos y cerrados .

Las tres nociones anteriores concuerdan para espacios separables y metrizables . ^{[ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]}

• Un espacio de Hausdorff de dimensión cero es necesariamente totalmente desconectado , pero la inversa no es posible. Sin embargo, un espacio de Hausdorff localmente compacto es de dimensión cero si y solo si es totalmente desconectado. (Véase (Arhangel'skii & Tkachenko 2008, Proposición 3.1.7, p.136) para la dirección no trivial.)
• Los espacios polacos de dimensión cero son un entorno especialmente conveniente para la teoría descriptiva de conjuntos . Algunos ejemplos de estos espacios son el espacio de Cantor y el espacio de Baire .
• Los espacios de dimensión cero de Hausdorff son precisamente los subespacios de potencias topológicas donde se da la topología discreta . A este tipo de espacio se le denomina a veces cubo de Cantor . Si I es infinito numerable , es el espacio de Cantor .${\displaystyle 2^{I}}$${\displaystyle 2=\{0,1\}}$${\displaystyle 2^{I}}$

Todos los puntos de una variedad de dimensión cero están aislados .

• Arhangel'skii, Alexander ; Tkachenko, Mikhail (2008). Grupos topológicos y estructuras relacionadas . Atlantis Studies in Mathematics. Vol. 1. Atlantis Press. ISBN 978-90-78677-06-2.
• Engelking, Ryszard (1977). Topología general . PWN, Varsovia.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN. 0-486-43479-6.