Ceros y polos

En análisis complejo (una rama de las matemáticas), un polo es un tipo particular de singularidad de una función de valor complejo de una variable compleja . Es el tipo más simple de singularidad no removible de dicha función (véase singularidad esencial ). Técnicamente, un punto z₀ es un polo de una función f si es un cero de la función 1/ f y 1/ f es holomorfa (es decir, _{diferenciable} en el sentido complejo ) en algún entorno de z₀ _.

Una función f es meromorfa en un conjunto abierto U si para cada punto z de U existe un entorno de z en el que al menos una de las funciones f y 1/ f es holomorfa.

Si f es meromorfa en U , entonces un cero de f es un polo de 1/ f , y un polo de f es un cero de 1/ f . Esto induce una dualidad entre ceros y polos , fundamental para el estudio de las funciones meromorfas. Por ejemplo, si una función es meromorfa en todo el plano complejo más el punto en el infinito , entonces la suma de las multiplicidades de sus polos es igual a la suma de las multiplicidades de sus ceros.

Una función de una variable compleja z es holomorfa en un dominio abierto U si es diferenciable con respecto a z en cada punto de U. De forma equivalente, es holomorfa si es analítica , es decir, si su serie de Taylor existe en cada punto de U y converge a la función en algún entorno del punto. Una función es meromorfa en U si cada punto de U tiene un entorno tal que al menos una de las funciones f y 1/ f es holomorfa en él.

Un cero de una función meromorfa f es un número complejo z tal que f ( z ) = 0 . Un polo de f es un cero de 1/ f .

Si f es una función que es meromorfa en un entorno de un punto${\displaystyle z_{0}}$del plano complejo , entonces existe un entero n tal que

${\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}$

es holomorfa y distinta de cero en un entorno de${\displaystyle z_{0}}$(esto es una consecuencia de la propiedad analítica). Si n > 0 , entonces${\displaystyle z_{0}}$es un polo de orden (o multiplicidad) n de f . Si n < 0 , entonces${\displaystyle z_{0}}$es un cero de orden${\displaystyle |n|}$de f . Cero simple y polo simple son términos utilizados para ceros y polos de orden${\displaystyle |n|=1.}$A veces, el término "grado" se usa como sinónimo de "orden".

Esta caracterización de los ceros y los polos implica que los ceros y los polos están aislados , es decir, cada cero o polo tiene un entorno que no contiene ningún otro cero o polo.

Debido a que el orden de los ceros y polos se define como un número no negativo n y a la simetría entre ellos, a menudo resulta útil considerar un polo de orden n como un cero de orden −n y un cero de orden n como un polo de orden −n . En este caso , un punto que no es ni polo ni cero se considera un polo (o cero) de orden 0.

Una función meromorfa puede tener infinitos ceros y polos. Este es el caso de la función gamma (ver la imagen en el cuadro de información), que es meromorfa en todo el plano complejo y tiene un polo simple en cada entero no positivo. La función zeta de Riemann también es meromorfa en todo el plano complejo, con un único polo de orden 1 en z = 1. Sus ceros en el semiplano izquierdo son todos los enteros pares negativos, y la hipótesis de Riemann es la conjetura de que todos los demás ceros están a lo largo de Re( z ) = 1/2 .

En un vecindario de un punto${\displaystyle z_{0},}$Una función meromorfa no nula f es la suma de una serie de Laurent con una parte principal a lo sumo finita (los términos con valores de índice negativos):

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},}$

donde n es un número entero y${\displaystyle a_{-n}\neq 0.}$Nuevamente, si n > 0 (la suma comienza con${\displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}$, la parte principal tiene n términos), se tiene un polo de orden n , y si n ≤ 0 (la suma comienza con${\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$, no hay parte principal), uno tiene un cero de orden${\displaystyle |n|}$.

Una función${\displaystyle z\mapsto f(z)}$es meromorfa en el infinito si es meromorfa en algún entorno del infinito (es decir, fuera de algún disco ), y existe un entero n tal que

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}$

Existe y es un número complejo distinto de cero.

En este caso, el punto en el infinito es un polo de orden n si n > 0 y un cero de orden${\displaystyle |n|}$si n < 0 .

Por ejemplo, un polinomio de grado n tiene un polo de grado n en el infinito.

El plano complejo extendido por un punto en el infinito se llama esfera de Riemann .

Si f es una función meromorfa en toda la esfera de Riemann, entonces tiene un número finito de ceros y polos, y la suma de los órdenes de sus polos es igual a la suma de los órdenes de sus ceros.

Toda función racional es meromorfa en toda la esfera de Riemann y, en este caso, la suma de los órdenes de los ceros o de los polos es el máximo de los grados del numerador y del denominador.

• La función

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

es meromorfo en toda la esfera de Riemann. Tiene un polo de orden 1 o polo simple en${\displaystyle z=0,}$y un simple cero en el infinito.

• La función

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

es meromorfa en toda la esfera de Riemann. Tiene un polo de orden 2 en${\displaystyle z=5,}$y un polo de orden 3 en${\displaystyle z=-7}$. Tiene un cero simple en${\displaystyle z=-2,}$y un cuádruple cero en el infinito.

• La función

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

es meromorfa en todo el plano complejo, pero no en el infinito. Tiene polos de orden 1 en${\displaystyle z=2\pi ni{\text{ para }}n\in \mathbb {Z} }$Esto se puede observar en la fórmula de Euler .

• La función

${\displaystyle f(z)=z}$

tiene un único polo en el infinito de orden 1 y un único cero en el origen.

Todos los ejemplos anteriores, excepto el tercero, son funciones racionales . Para una discusión general sobre los ceros y polos de dichas funciones, consulte Diagrama de polos y ceros §  Sistemas de tiempo continuo .

El concepto de ceros y polos se extiende naturalmente a funciones sobre una curva compleja , es decir, una variedad analítica compleja de dimensión uno (sobre los números complejos). Los ejemplos más sencillos de dichas curvas son el plano complejo y la superficie de Riemann . Esta extensión se realiza transfiriendo estructuras y propiedades a través de cartas , que son isomorfismos analíticos .

Más precisamente, sea f una función de una curva compleja M a los números complejos. Esta función es holomorfa (respectivamente, meromorfa) en un entorno de un punto z de M si existe una carta${\displaystyle \phi }$de tal manera que${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$es holomorfo (resp. meromorfo) en un entorno de${\displaystyle \phi (z).}$Entonces, z es un polo o un cero de orden n si lo mismo es cierto para${\displaystyle \phi (z).}$

Si la curva es compacta y la función f es meromorfa en toda la curva, entonces el número de ceros y polos es finito, y la suma de los órdenes de los polos es igual a la suma de los órdenes de los ceros. Este es uno de los hechos fundamentales del teorema de Riemann-Roch .

• Principio de argumentación
• Teoría de control §  Estabilidad
• Diseño de filtros
• Filtro (procesamiento de señales)
• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema de Hurwitz (análisis complejo)
• Teorema de Marden
• criterio de estabilidad de Nyquist
• Diagrama de polos y ceros
• Residuo (análisis complejo)
• Teorema de Rouché
• La conjetura de Sendov

• Conway, John B. (1986). Funciones de una variable compleja I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Conway, John B. (1995). Funciones de una variable compleja II . Springer. ISBN 0-387-94460-5.
• Henrici, Peter (1974). Análisis complejo aplicado y computacional 1. John Wiley & Sons .

• Weisstein, Eric W. "Polo" . MathWorld .