Transformación de polarización cero

La transformación de sesgo cero es una transformación de una distribución de probabilidad a otra. Esta transformación surge en las aplicaciones del método de Stein en probabilidad y estadística.

La transformación de sesgo cero puede aplicarse tanto a variables aleatorias discretas como continuas. Consideremos una variable aleatoria T con media cero y varianza σ² . La transformación de sesgo cero de su función de densidad f ( t ) es una nueva función de densidad g ( s ) definida por ^{[ 1 ] [ 2 ].}

${\displaystyle g(s)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{s}^{\infty }tf(t)\,1(t>s)\,dt={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\operatorname {E} [T\,1(T>s)].}$

Un enfoque equivalente pero alternativo consiste en deducir la naturaleza de la variable aleatoria transformada evaluando el valor esperado.

${\displaystyle \operatorname {E} (TH(T))=\sigma ^{2}E(h(T^{z}))}$

donde el superíndice de la derecha denota una variable aleatoria con sesgo cero, mientras que la esperanza de la izquierda representa la variable aleatoria original. Arriba, h es la derivada de H. En la sección de ejemplos que se muestra a continuación, se presenta un ejemplo de cada enfoque.

Si la variable aleatoria es discreta, la integral se convierte en una suma desde infinito positivo hasta s . La transformación de sesgo cero se aplica a una variable aleatoria con media cero y varianza 1, lo que puede requerir una transformación de localización-escala. 

La transformación de sesgo cero surge en aplicaciones donde se desea una aproximación normal. De forma similar al método de Stein, la transformación de sesgo cero se aplica a menudo a sumas de variables aleatorias, donde cada sumando tiene varianza finita y media cero.

La transformación de sesgo cero se ha aplicado a la valoración de tramos de CDO . ^{[ 3 ]}

1. Consideremos una variable aleatoria de Bernoulli( p ) B con Pr( B  =  0)  =  1  − p . La transformada de sesgo cero de T = ( B − p ) es:   

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (TH(T))&=-p(1-p)H(-p)+(1-p)pH(1-p)\\&=p(1-p)[H(1-p)-H(-p)]\\&=p(1-p)\int _{-p}^{1-p}h(s)\,ds\end{aligned}}}$

donde h es la derivada de H. De ahí se deduce que la variable aleatoria S es una variable aleatoria uniforme continua con soporte en (−p , 1 − p ) . Este ejemplo muestra cómo la transformación de sesgo cero suaviza una distribución discreta hasta convertirla en una distribución continua.    

2. Consideremos la función uniforme continua en el soporte.${\displaystyle (-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}})}$.

${\displaystyle \int _{s}^{\sqrt {3}}t1(t>s)f(t)\,dt=\int _{s}^{\sqrt {3}}{\frac {t}{2{\sqrt {3}}}}\,dt={\frac {\sqrt {3}}{4}}-{\frac {s^{2}}{{\sqrt {3}}\,4}}{\text{ donde }}-{\sqrt {3}}<s<{\sqrt {3}}}$

Este ejemplo demuestra que la transformación de sesgo cero toma distribuciones simétricas continuas y las convierte en unimodulares.