Objeto cero (álgebra)

En álgebra , el objeto cero de una estructura algebraica dada es, en el sentido que se explica a continuación, el objeto más simple de dicha estructura. Como conjunto , es un singleton , y como magma tiene una estructura trivial , que también es un grupo abeliano . La estructura de grupo abeliano mencionada anteriormente se suele identificar como adición , y el único elemento se llama cero , por lo que el objeto en sí se suele denotar como ${0}$ . A menudo se hace referencia al objeto trivial (de una categoría específica ) ya que todo objeto trivial es isomorfo a cualquier otro (bajo un isomorfismo único).

Entre las instancias del objeto cero se incluyen, pero no se limitan a, las siguientes:

Como grupo , el grupo cero o grupo trivial .
Como anillo , el anillo cero o anillo trivial .
Como álgebra sobre un cuerpo o álgebra sobre un anillo , el álgebra trivial .
Como módulo (sobre un anillo $R$ ), el módulo cero . También se utiliza el término módulo trivial , aunque puede ser ambiguo, ya que un G-módulo trivial es un G -módulo con una acción trivial.
Como espacio vectorial (sobre un campo $R$ ), el espacio vectorial cero , espacio vectorial cero-dimensional o simplemente espacio cero .

Estos objetos se describen conjuntamente no solo en función de la estructura común de grupo trivial y de un solo elemento, sino también debido a propiedades teóricas de categorías compartidas .

En los últimos tres casos, la multiplicación escalar por un elemento del anillo base (o cuerpo) se define como:

κ 0 = 0

, donde

κ \in R

.

El más general de ellos, el módulo cero, es un módulo finitamente generado con un conjunto generador vacío .

Para estructuras que requieren la estructura de multiplicación dentro del objeto cero, como el anillo trivial , solo hay una posible, $0 \times 0 = 0$ , porque no hay elementos distintos de cero. Esta estructura es asociativa y conmutativa . Un anillo $R$ que tiene identidad tanto aditiva como multiplicativa es trivial si y solo si $1 = 0$ , ya que esta igualdad implica que para todo $r$ dentro de $R$ ,

r=r\times 1=r\times 0=0.

En este caso, es posible definir la división por cero , ya que el único elemento es su propio inverso multiplicativo. Algunas propiedades de ${0}$ dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa; véase la sección Estructuras unitarias más adelante.

Cualquier álgebra trivial es también un anillo trivial. Un álgebra trivial sobre un cuerpo es simultáneamente un espacio vectorial cero considerado más adelante . Sobre un anillo conmutativo , un álgebra trivial es simultáneamente un módulo cero.

El anillo trivial es un ejemplo de un rng de cuadrado cero . Un álgebra trivial es un ejemplo de un álgebra cero .

La dimensión ceroEl espacio vectorial es un ejemplo particularmente común de objeto cero, un espacio vectorial sobre un cuerpo con una base vacía . Por lo tanto, tiene dimensión cero. También es un grupo trivial sobre la suma y un módulo trivial mencionado anteriormente .

Propiedades

El anillo cero, el módulo cero y el espacio vectorial cero son los objetos cero de, respectivamente, la categoría de pseudoanillos , la categoría de módulos y la categoría de espacios vectoriales . Sin embargo, el anillo cero no es un objeto cero en la categoría de anillos , ya que no existe ningún homomorfismo de anillos del anillo cero en ningún otro anillo.

El objeto cero, por definición, debe ser un objeto terminal, lo que significa que debe existir un morfismo $A$ $\to {0}$ y ser único para un objeto arbitrario $A.$ Este morfismo asigna a cualquier elemento de $A$ el valor $0$ .

El objeto cero, también por definición, debe ser un objeto inicial, lo que significa que debe existir un morfismo ${0} \to$ $A$ $y ser único para un objeto arbitrario A.$ Este morfismo asigna $a 0$ , el único elemento de ${0}$ , el elemento cero $0 \in$ $A$ , llamado vector cero en espacios vectoriales. Esta aplicación es un monomorfismo y, por lo tanto, su imagen es isomorfa a ${0}$ . Para módulos y espacios vectoriales, este subconjunto ${0} \subset$ $A$ es el único submódulo generado vacío (o subespacio lineal de dimensión 0 ) en cada módulo (o espacio vectorial) $A.$

Estructuras unitarias

El objeto ${0}$ es un objeto terminal de cualquier estructura algebraica donde exista, como se describió en los ejemplos anteriores. Pero su existencia y, si existe, la propiedad de ser un objeto inicial (y, por lo tanto, un objeto cero en el sentido de la teoría de categorías ) dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa 1 en una estructura específica.

Si la definición de $1$ requiere que $1 \neq 0$ , entonces el objeto ${0}$ no puede existir porque puede contener solo un elemento. En particular, el anillo cero no es un cuerpo . Si bien los matemáticos a veces hablan de un cuerpo con un solo elemento , este objeto matemático abstracto y algo misterioso no es un cuerpo.

En categorías donde la identidad multiplicativa debe conservarse mediante morfismos, pero puede ser igual a cero, el objeto ${0}$ puede existir. Pero no como objeto inicial porque no existen morfismos que preserven la identidad de ${0}$ a ningún objeto donde $1 \neq 0. Por ejemplo, en la$ categoría de anillos Ring, el anillo de enteros Z es el objeto inicial, no ${0}$ .

Si una estructura algebraica requiere la identidad multiplicativa, pero no su preservación por morfismos ni $1 \neq 0$ , entonces existen morfismos cero y la situación no es diferente de las estructuras no unitarias consideradas en la sección anterior.

Notación

Los espacios vectoriales nulos y los módulos nulos se suelen denotar con $0$ (en lugar de ${0}$ ). Esto siempre ocurre cuando aparecen en una secuencia exacta .

Véase también

Enlaces externos

David Sharpe (1987). Anillos y factorización . Cambridge University Press . pág. 10 : anillo trivial . ISBN 0-521-33718-6.
Barile, Margarita . «Módulo Trivial» . MundoMatemático .
Barile, Margarita. "Módulo Cero" . MundoMatemático .