Distribución zeta

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución zeta es una distribución de probabilidad discreta . Si X es una variable aleatoria con distribución zeta y parámetro s , entonces la probabilidad de que X tome el valor entero positivo k está dada por la función de masa de probabilidad.

${\displaystyle f_{s}(k)={\frac {k^{-s}}{\zeta (s)}}}$

donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann (que no está definida para s = 1).

Las multiplicidades de factores primos distintos de X son variables aleatorias independientes .

La función zeta de Riemann es la suma de todos los términos del entero positivo k , por lo que aparece como la normalización de la distribución de Zipf . Los términos "distribución de Zipf" y "distribución zeta" se utilizan a menudo indistintamente. Pero, si bien la distribución zeta es una distribución de probabilidad en sí misma, no está asociada a la ley de Zipf con el mismo exponente. $estilo de visualización k-s$

La distribución Zeta se define para números enteros positivos y su función de masa de probabilidad está dada por ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s},}$

donde es el parámetro, y es la función zeta de Riemann . ${\estilo de visualización s>1}$${\displaystyle \zeta(s)}$

La función de distribución acumulativa está dada por

${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},}$

¿Dónde está el número armónico generalizado?$Estilo de visualización: H_{k,s}$

${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$

El n -ésimo momento bruto se define como el valor esperado de X ⁿ :

${\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{sn}}}}$

La serie de la derecha es simplemente una representación en serie de la función zeta de Riemann, pero solo converge para valores de que sean mayores que la unidad. Por lo tanto: ${\estilo de visualización sn}$

${\displaystyle m_{n}={\begin{cases}\zeta (sn)/\zeta (s)&{\text{para }}n<s-1\\\infty &{\text{para }}n\geq s-1\end{cases}}}$

La relación de las funciones zeta está bien definida, incluso para n  >  s  − 1, porque la representación en serie de la función zeta puede continuarse analíticamente . Esto no cambia el hecho de que los momentos están especificados por la propia serie y, por lo tanto, no están definidos para valores grandes de n .

La función generadora de momentos se define como

${\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}$

La serie es simplemente la definición del polilogaritmo , válido para tal que ${\displaystyle e^{t}<1}$

${\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ para }}t<0.}$

Dado que esto no converge en un intervalo abierto que contenga , la función generadora de momentos no existe. ${\estilo de visualización t=0}$

ζ (1) es infinito como la serie armónica , y por lo tanto el caso cuando s = 1 no es significativo. Sin embargo, si A es cualquier conjunto de números enteros positivos que tiene una densidad, es decir, si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}$

existe donde N ( A ,  n ) es el número de miembros de A menor o igual a n , entonces

${\displaystyle \lim _{s\to 1^{+}}P(X\en A)\,}$

es igual a esa densidad.

El último límite también puede existir en algunos casos en los que A no tiene densidad. Por ejemplo, si A es el conjunto de todos los números enteros positivos cuyo primer dígito es d , entonces A no tiene densidad, pero aun así el segundo límite dado anteriormente existe y es proporcional a

${\displaystyle \log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right),\,}$

cual es la ley de Benford .

La distribución Zeta se puede construir con una secuencia de variables aleatorias independientes con una distribución geométrica . Sea un número primo y una variable aleatoria con una distribución geométrica de parámetro , es decir ${\estilo de visualización p}$${\displaystyle X(p^{-s})}$$estilo de visualización p-s$

${\displaystyle \quad \quad \quad \mathbb {P} \left(X(p^{-s})=k\right)=p^{-ks}(1-p^{-s})}$

Si las variables aleatorias son independientes, entonces, la variable aleatoria definida por ${\displaystyle (X(p^{-s}))_{p\in {\mathcal {P}}}}$${\displaystyle Z_{s}}$

${\displaystyle \quad \quad \quad Z_{s}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{X(p^{-s})}}$

tiene la distribución zeta: . ${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{s}=n\right)={\frac {1}{n^{s}\zeta (s)}}}$

Dicho de otra manera, la variable aleatoria es infinitamente divisible con la medida de Lévy dada por la siguiente suma de masas de Dirac : ${\displaystyle \log(Z_{s})=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}X(p^{-s})\,\log(p)}$

${\displaystyle \quad \quad \quad \Pi _{s}(dx)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\geqslant 1}{\frac {p^{-ks}}{k}}\delta _{k\log(p)}(dx)}$

Otras distribuciones de "ley de potencia"

• Distribución de Cauchy
• Distribución de Lévy
• Distribución alfa estable con sesgo de Lévy
• Distribución de Pareto
• Ley de Zipf
• Ley de Zipf-Mandelbrot
• Distribución infinitamente divisible
• Distribución de Yule-Simon

• Gut, Allan. "Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann". CiteSeerX  10.1.1.66.3284 . Lo que Gut llama la "distribución zeta de Riemann" es en realidad la distribución de probabilidad de −log  X , donde X es una variable aleatoria con lo que este artículo llama la distribución zeta.
• Weisstein, Eric W. "Distribución Zipf". MundoMatemático .