Algoritmo π de Zhao Youqin

El algoritmo π de Zhao Youqin fue un algoritmo ideado por el astrónomo y matemático chino de la dinastía Yuan Zhao Youqin (赵友钦, ? – 1330) para calcular el valor de π en su libro Ge Xiang Xin Shu (革象新书).

Zhao Youqin comenzó con un cuadrado inscrito en un círculo con radio r . ^[1]

Si e denota la longitud de un lado del cuadrado, traza una línea perpendicular d desde el centro del círculo hasta el lado l . Sea e la longitud de un  lado  del cuadrado . Luego, del diagrama: ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle e=rd=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}.}$

Extiende la línea perpendicular d para diseccionar el círculo en un octágono ; denota la longitud de un lado del octágono. ${\displaystyle \ell_{2}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}+e^{2}}}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell ^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell ^{2}}}\right)^{2}}}}$

Sea la longitud de un lado del hexadecágono.$estilo de visualización l_{3}}$

${\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{2}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{2}^{2}}}\right)^{2}}}}$

similarmente

${\displaystyle \ell _{n+1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{n}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{n}^{2}}}\right)^{2}}}}$

Procediendo de esta manera, calculó finalmente el lado de un gono de 16384, multiplicándolo por 16384 para obtener 3141,592 para un círculo con diámetro = 1000 unidades, o

${\displaystyle \pi =3.141592.\,}$

Multiplicó este número por 113 y obtuvo 355. De esto dedujo que de los valores tradicionales de π , es decir 3, 3,14 ,22/7⁠ y ⁠355/113⁠ , el último es el más exacto. ^[2]

• Algoritmo π de Liu Hui