El problema de Znám

En teoría de números , el problema de Znám plantea qué conjuntos de enteros tienen la propiedad de que cada entero del conjunto es un divisor propio del producto de los demás enteros del conjunto, más 1. El problema de Znám recibe su nombre del matemático eslovaco Štefan Znám , quien lo propuso en 1972, aunque otros matemáticos habían considerado problemas similares por la misma época.

Los términos iniciales de la secuencia de Sylvester casi resuelven este problema, excepto que el último término elegido es igual a uno más el producto de los demás, en lugar de ser un divisor propio. Sun en 1983 demostró que hay al menos una solución al problema (propio) de Znám para cada${\displaystyle k\geq 5}$La solución de Sun se basa en una recurrencia similar a la de la secuencia de Sylvester, pero con un conjunto diferente de valores iniciales. ^{[ 1 ]}

El problema de Znám está estrechamente relacionado con las fracciones egipcias . Se sabe que solo existen un número finito de soluciones para cualquier valor fijo.${\displaystyle k}$Se desconoce si existen soluciones al problema de Znám utilizando únicamente números impares , y aún quedan varias otras cuestiones abiertas .

El problema de Znám pregunta qué conjuntos de enteros tienen la propiedad de que cada entero del conjunto es un divisor propio del producto de los demás enteros del conjunto, más 1. Es decir, dado${\displaystyle k}$¿Qué conjuntos de números enteros? $${\displaystyle \{n_{1},\ldots ,n_{k}\}}$$ existen tales que, para cada${\displaystyle i}$,${\displaystyle n_{i}}$divide pero no es igual a ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\Bigl (}\prod _{j\neq i}^{n}n_{j}{\Bigr )}+1?}$$ Un problema estrechamente relacionado se refiere a conjuntos de enteros en los que cada entero del conjunto es divisor, pero no necesariamente propio, de uno más el producto de los demás enteros del conjunto. ^{[ 3 ]} Este problema no parece haber sido nombrado en la literatura y aquí se denomina problema de Znám impropio. Cualquier solución al problema de Znám es también una solución al problema de Znám impropio, pero no necesariamente a la inversa. ^{[ 4 ]}

El problema de Znám lleva el nombre del matemático eslovaco Štefan Znám , quien lo sugirió en 1972. ^{[ 5 ]} Anteriormente, en 1971, Barbeau había planteado el problema impropio de Znám para${\displaystyle k=3}$, ^{[ 3 ]} y poco después Mordell, independientemente de Znám, encontró todas las soluciones al problema impropio para${\displaystyle k\leq 5}$. ^{[ 6 ]} Luego, en 1975, Skula demostró que el problema de Znám es irresoluble para${\displaystyle k<5}$y le atribuyó a J. Janák el haber encontrado la solución.${\displaystyle \{2,3,11,23,31\}}$para${\displaystyle k=5}$. ^{[ 2 ]}

La sucesión de Sylvester es una sucesión de números enteros en la que cada término es uno más el producto de los términos anteriores. Los primeros términos de la sucesión son:

Detener la secuencia prematuramente produce un conjunto como${\displaystyle \{2,3,7,43\}}$que casi cumple las condiciones del problema de Znám, excepto que el valor mayor es igual a uno más el producto de los otros términos, en lugar de ser un divisor propio. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, es una solución al problema de Znám impropio, pero no una solución al problema de Znám tal como se define habitualmente.

Una solución al problema de Znám adecuado, por${\displaystyle k=5}$, es${\displaystyle \{2,3,7,47,395\}}$. ^{[ 8 ]} Unos pocos cálculos demostrarán que

Cualquier solución al problema Znám impropio es equivalente (mediante la división por el producto de los valores)${\displaystyle x_{i}}$) a una solución de la ecuación $${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=y,}$$ dónde${\displaystyle y}$así como cada uno${\displaystyle x_{i}}$debe ser un número entero y, a la inversa, cualquier solución de este tipo corresponde a una solución del problema Znám impropio. Sin embargo, todas las soluciones conocidas tienen${\displaystyle y=1}$, ^{[ 9 ]} por lo que satisfacen la ecuación $${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.}$$ Esta ecuación describe una representación fraccionaria egipcia del número uno como suma de fracciones unitarias . ^{[ 10 ]} Las soluciones a esta ecuación se han aplicado a la clasificación de singularidades en superficies, ^{[ 7 ]} y a la teoría de autómatas finitos no deterministas . ^{[ 11 ]}

El número de soluciones al problema de Znám para cualquier${\displaystyle k}$es finito, por lo que tiene sentido contar el número total de soluciones para cada${\displaystyle k}$. ^{[ 8 ]} Sun demostró en 1983 que hay al menos una solución al problema (propio) de Znám para cada${\displaystyle k\geq 5}$La solución de Sun se basa en una recurrencia similar a la de la secuencia de Sylvester, pero con un conjunto diferente de valores iniciales. ^{[ 1 ]} El número de soluciones para valores pequeños de${\displaystyle k}$, comenzando con${\displaystyle k=5}$, forma la secuencia: ^{[ 9 ]}

2 , 5 , 18 , 96 (secuencia A075441 en el OEIS ).

Actualmente, se conocen algunas soluciones para${\displaystyle k=9}$y${\displaystyle k=10}$, pero no está claro cuántas soluciones quedan sin descubrir para esos valores de${\displaystyle k}$Sin embargo, existen infinitas soluciones si${\displaystyle k}$no es fijo: Cao y Jing demostraron en 1998 que hay al menos 39 soluciones para cada uno${\displaystyle k\geq 12}$, ^{[ 12 ]} mejorando resultados anteriores que demuestran la existencia de menos soluciones; ^{[ 13 ]} Sun y Cao conjeturaron en 1988 que el número de soluciones para cada valor de${\displaystyle k}$crece monótonamente con${\displaystyle k}$. ^{[ 14 ]}

Se desconoce si existen soluciones al problema de Znám que utilicen únicamente números impares. Con una excepción, todas las soluciones conocidas comienzan con 2. Si todos los números en una solución al problema de Znám o al problema impropio de Znám son primos , su producto es un número pseudoperfecto primario . ^{[ 15 ]}

• Número de Giuga

• PrimeFan, "Soluciones al problema de Znám" , archivado del original el 4 de octubre de 2022.
• Weisstein, Eric W. , "El problema de Znám" , MathWorld{{cite web}}: Mantenimiento de CS1: configuración sobrescrita ( enlace )