Polinomios de Zolotarev

En matemáticas, los polinomios de Zolotarev son polinomios utilizados en la teoría de la aproximación . A veces se emplean como alternativa a los polinomios de Chebyshev cuando la precisión de la aproximación cerca del origen es menos importante. Los polinomios de Zolotarev se diferencian de los de Chebyshev en que dos de sus coeficientes están fijos de antemano, en lugar de poder tomar cualquier valor. Los polinomios de Chebyshev de primera especie son un caso particular de los polinomios de Zolotarev. Estos polinomios fueron introducidos por el matemático ruso Yegor Ivanovich Zolotarev en 1868.

Polinomios de Zolotarev de grado${\displaystyle n}$en${\displaystyle x}$son de la forma

${\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=x^{n}-\sigma x^{n-1}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{0}\ ,}$

dónde${\displaystyle \sigma }$es un valor prescrito para${\displaystyle a_{n-1}}$y el${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} }$de otro modo se eligen de tal manera que la desviación de${\displaystyle Z_{n}(x)}$desde cero es mínimo en el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$. ^{[ 1 ]}

Un subconjunto de polinomios de Zolotarev puede expresarse en términos de polinomios de Chebyshev de primera especie,${\displaystyle T_{n}(x)}$. Para

${\displaystyle 0\leq \sigma \leq {\dfrac {1}{n}}\tan ^{2}{\dfrac {\pi }{2n}}}$

entonces

${\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=(1+\sigma )^{n}T_{n}\left({\frac {x-\sigma }{1+\sigma }}\right)\ .}$

Para valores de${\displaystyle \sigma }$mayor que el máximo de este rango, los polinomios de Zolotarev pueden expresarse en términos de funciones elípticas . Para${\displaystyle \sigma =0}$, el polinomio de Zolotarev es idéntico al polinomio de Chebyshev equivalente. Para valores negativos de${\displaystyle \sigma }$, el polinomio se puede encontrar a partir del polinomio del valor positivo, ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Z_{n}(x,-\sigma )=(-1)^{n}Z_{n}(-x,\sigma )\ .}$

El polinomio de Zolotarev se puede expandir en una suma de polinomios de Chebyshev utilizando la relación ^{[ 3 ].}

${\displaystyle Z_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k}(x)\ .}$

Los polinomios fueron introducidos por Yegor Ivanovich Zolotarev en 1868 como un medio para aproximar uniformemente polinomios de grado${\displaystyle x^{n+1}}$en el intervalo [−1,1]. Pafnuty Chebyshev había demostrado en 1858 que${\displaystyle x^{n+1}}$podría aproximarse en este intervalo con un polinomio de grado como máximo${\displaystyle n}$con un error de${\displaystyle 2^{-n}}$En 1868, Zolotarev demostró que${\displaystyle x^{n+1}-\sigma x^{n}}$podría aproximarse con un polinomio de grado como máximo${\displaystyle n-1}$, dos grados más bajo. El error en el método de Zolotarev viene dado por, ^{[ 9 ]}

${\displaystyle 2^{-n}\left({\dfrac {1+\sigma }{1+n}}\right)^{n+1}\ .}$

El procedimiento fue desarrollado posteriormente por Naum Achieser en 1956. ^{[ 10 ]}

Los polinomios de Zolotarev se utilizan en el diseño de filtros de Achieser-Zolotarev . Ralph Levy los empleó por primera vez en 1970 para el diseño de filtros de guía de ondas de microondas . ^{[ 11 ]} Los filtros de Achieser-Zolotarev son similares a los filtros de Chebyshev en que presentan una atenuación de rizado uniforme a lo largo de la banda de paso , salvo que la atenuación supera el rizado preestablecido para el pico más cercano al origen. ^{[ 12 ]}

Los polinomios de Zolotarev pueden utilizarse para sintetizar los diagramas de radiación de conjuntos de antenas lineales , una técnica propuesta inicialmente por D.A. McNamara en 1985. El trabajo se basó en la aplicación de un filtro, utilizando el ángulo del haz como variable en lugar de la frecuencia. El diagrama de radiación de Zolotarev presenta lóbulos laterales de igual nivel. ^{[ 11 ]}