Armónicos esféricos zonales

En el estudio matemático de la simetría rotacional , los armónicos esféricos zonales son armónicos esféricos especiales que permanecen invariantes bajo la rotación alrededor de un eje fijo particular. Las funciones esféricas zonales constituyen una extensión amplia de la noción de armónicos esféricos zonales para permitir un grupo de simetría más general .

En la esfera bidimensional, el único armónico esférico zonal de grado ℓ invariante bajo rotaciones que fijan el polo norte se representa en coordenadas esféricas por $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$ donde P _ℓ es el polinomio de Legendre normalizado de grado ℓ ,${\displaystyle P_{\ell }(1)=1}$. El armónico esférico zonal genérico de grado ℓ se denota por${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$donde x es un punto en la esfera que representa el eje fijo, e y es la variable de la función. Esto se puede obtener mediante la rotación del armónico zonal básico.${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

En el espacio euclidiano n -dimensional, los armónicos esféricos zonales se definen de la siguiente manera. Sea x un punto en la ( n -1)-esfera. Definimos${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$ser la representación dual del funcional lineal $${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$en el espacio de Hilbert de dimensión finita${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\ell }}$de armónicos esféricos de grado${\displaystyle \ell }$con respecto a la medida uniforme en la esfera${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$En otras palabras, tenemos un núcleo reproductor :$${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y),\quad \forall Y\in {\mathcal {H}}_{\ell }}$$ dónde${\displaystyle \Omega }$es la medida uniforme en${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$.

Los armónicos zonales aparecen naturalmente como coeficientes del núcleo de Poisson para la bola unitaria en R ⁿ : para vectores unitarios x e y ,$${\displaystyle {\frac {1}{\omega _ {n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _ {k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}$$ dónde${\displaystyle \omega _{n-1}}$es el área superficial de la esfera (n-1) dimensional. También están relacionadas con el núcleo de Newton a través de $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$ donde x , y ∈ R ⁿ y las constantes c _{n , k} están dadas por $${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

Los coeficientes de la serie de Taylor del núcleo de Newton (con la normalización adecuada) son precisamente los polinomios ultrasféricos . Por lo tanto, los armónicos esféricos zonales se pueden expresar de la siguiente manera. Si α = ( n −2)/2 , entonces $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$ dónde${\displaystyle c_{n,\ell }}$son las constantes anteriores y${\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}$es el polinomio ultrasférico de grado${\displaystyle \ell }$El caso bidimensional$${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$es un caso especial de eso, ya que los polinomios de Legendre son el caso especial del polinomio ultrasférico cuando${\displaystyle \alpha =1/2}$.

• Los armónicos esféricos zonales son invariantes rotacionalmente, lo que significa que$${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$para cada transformación ortogonal R. Recíprocamente, cualquier función f ( x , y ) en S ^{n −1} × S ^{n −1} que sea un armónico esférico en y para cada x fijo , y que satisfaga esta propiedad de invariancia, es un múltiplo constante del armónico zonal de grado ℓ .
• Si Y ₁ , ..., Y _d es una base ortonormal de H _ℓ , entonces$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• Evaluando en x = y se obtiene$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.