Aumento

En el caso de imágenes reales , como las proyectadas en una pantalla, el tamaño se refiere a una dimensión lineal (medida, por ejemplo, en milímetros o pulgadas ).

Para un instrumento óptico con un ocular , por ejemplo, la dimensión lineal de una imagen vista a través del ocular no se puede dar si se trata de una imagen virtual a una distancia infinita; por lo tanto, en este caso, el tamaño puede significar el ángulo subtendido entre un borde (o ambos bordes, según la definición) de la imagen y el eje óptico del instrumento ( tamaño angular ). Estrictamente hablando, se debería tomar la tangente de ese ángulo (en la práctica, esto solo marca la diferencia si el ángulo es mayor que unos pocos grados). Así, la magnificación angular viene dada por ^{[ 1 ] [ 2 ].}

$${\displaystyle M_{A}={\frac {\tan \varepsilon }{\tan \varepsilon _{0}}}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}}$$

dónde${\textstyle \varepsilon _{0}}$es el ángulo subtendido por un objeto (con respecto al eje óptico) y${\textstyle \varepsilon }$es el ángulo subtendido por su imagen (también con respecto al eje óptico) formado por un instrumento óptico.

Por ejemplo, el tamaño angular medio del disco lunar visto desde la superficie terrestre es de aproximadamente 0,52°. Por lo tanto, a través de binoculares con un aumento de 10×, la Luna parece abarcar un ángulo de aproximadamente 5,2°.

Por convención, para lupas y microscopios ópticos , donde el tamaño de un objeto es una dimensión lineal y el tamaño aparente (el tamaño de la imagen) del mismo es un ángulo, la magnificación es la relación entre el tamaño aparente (angular) visto a través del instrumento y el tamaño angular del objeto cuando este se coloca a la distancia convencional más cercana de visión nítida para un ojo humano sin ayuda:A 25  cm del ojo (llamado punto próximo ).

El aumento lineal de una lente delgada es

$${\displaystyle M={f \over f-d_{\mathrm {o} }}=-{\frac {f}{x_{o}}}}$$

dónde${\textstyle f}$es la distancia focal ,${\textstyle d_{\mathrm {o} }}$es la distancia desde la lente hasta el objeto, y${\textstyle x_{0}=d_{0}-f}$como la distancia del objeto con respecto al punto focal frontal. Se utiliza una convención de signos tal que${\textstyle d_{0}}$y${\displaystyle d_{i}}$(la distancia de la imagen a la lente) son positivas para el objeto real y la imagen, respectivamente, y negativas para el objeto virtual y las imágenes, respectivamente.${\textstyle f}$La polarización de una lente convergente es positiva, mientras que la de una lente divergente es negativa.

Para imágenes reales ,${\textstyle M}$es negativo y la imagen está invertida. Para imágenes virtuales ,${\textstyle M}$es positivo y la imagen está en posición vertical.

Con${\textstyle d_{\mathrm {i} }}$siendo la distancia desde la lente hasta la imagen,${\textstyle h_{\mathrm {i} }}$la altura de la imagen y${\textstyle h_{\mathrm {o} }}$La altura del objeto, la magnificación también se puede escribir como ^{[ 1 ] : 646–647}

$${\displaystyle M=-{d_{\mathrm {i} } \over d_{\mathrm {o} }}={h_{\mathrm {i} } \over h_{\mathrm {o} }}}$$

Cabe señalar nuevamente que una magnificación negativa implica una imagen invertida.

La magnificación de la imagen a lo largo de la dirección del eje óptico${\displaystyle M_{L}}$También se puede definir la magnificación longitudinal, denominada aumento longitudinal. La ecuación de la lente newtoniana se expresa como:${\displaystyle f^{2}=x_{0}x_{i}}$, dónde${\textstyle x_{0}=d_{0}-f}$y${\textstyle x_{i}=d_{i}-f}$como distancias en el eje de un objeto y la imagen con respecto a los puntos focales respectivos.${\displaystyle M_{L}}$se define como

$${\displaystyle M_{L}={\frac {dx_{i}}{dx_{0}}},}$$

y utilizando la ecuación de la lente newtoniana,

$${\displaystyle M_{L}=-{\frac {f^{2}}{x_{o}^{2}}}=-M^{2}.}$$

La magnificación longitudinal siempre es negativa, lo que significa que el objeto y la imagen se mueven en la misma dirección a lo largo del eje óptico. La magnificación longitudinal varía mucho más rápido que la transversal, por lo que la imagen tridimensional se distorsiona.

La imagen registrada por una película fotográfica o un sensor de imagen es siempre una imagen real y generalmente está invertida. Al medir la altura de una imagen invertida utilizando la convención de signos cartesiana (donde el eje x es el eje óptico), el valor de h _i será negativo y, como resultado, M también será negativo. Sin embargo, la convención de signos tradicional utilizada en fotografía es " lo real es positivo, lo virtual es negativo". ^{[ 3 ]} Por lo tanto, en fotografía: la altura y la distancia del objeto son siempre reales y positivas. Cuando la distancia focal es positiva, la altura, la distancia y la magnificación de la imagen son reales y positivas. Solo si la distancia focal es negativa, la altura, la distancia y la magnificación de la imagen son virtuales y negativas. Por lo tanto, las fórmulas de magnificación fotográfica se presentan tradicionalmente como ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}M&={d_{\mathrm {i} } \over d_{\mathrm {o} }}={h_{\mathrm {i} } \over h_{\mathrm {o} }}\\&={f \over d_{\mathrm {o} }-f}={d_{\mathrm {i} }-f \over f}\end{aligned}}}$$

La magnificación angular de una lupa se define como la relación entre el ángulo ε que la imagen (creada por la lupa) de un objeto situado en el punto próximo (normalmente a 25 cm del ojo humano) subtiende en la retina del ojo y el ángulo ε ₀ que el objeto (en la misma ubicación) subtiende en la retina sin la lupa. ^{[ 2 ]} La magnificación angular es igual a la magnificación del tamaño de la imagen en la retina debido a que (1) una parte del ojo humano que refracta la luz hacia la retina se considera una lente delgada ^{[ Nota 1 ]} y (2) la forma circular de la retina; el doble del ángulo entre el eje óptico del ojo y el borde de la imagen en la retina (de forma circular) se traduce en una imagen reconocida dos veces mayor.

Para obtener una imagen ampliada y enderezada de un objeto, este debe estar situado dentro de la distancia focal de una lente convergente (véase la tabla Imágenes de objetos reales formadas por lentes delgadas ). El aumento angular de una lente convergente, al funcionar como lupa, depende de la posición de la lente y del objeto con respecto al ojo.

La magnificación angular M _A = ε / ε ₀ puede expresarse, en aproximación paraxial donde tan( ε ) ≈ ε , como ( h _i / L _i )/( h _o / L _N ) = ( h _i L _N )/( h _o L _i ) donde h _o es la altura del objeto (con respecto al eje óptico), h _i es la altura de la imagen (también con respecto al eje), L _N es la distancia del punto cercano al ojo (a lo largo del eje óptico) y L _i es la distancia de la imagen al ojo (también a lo largo del eje).

Utilizando la magnificación transversal M = h _i / h _o = - d _i / d _o , M _A = -( d _i L _N )/( d _o L _i ). Utilizando la ecuación de la lente delgada 1/ d _o + 1/ d _i = 1/ f (f como la distancia focal de la lente ) , M _A = (1 - d _i / f )( L _N / L _i ). Debido a que L _i = L _l - d _i ( d _i es negativo para una imagen virtual, hecha por una lente convergente como una lupa) entonces d _i = L l _- L i _, M A _se convierte en ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=(L_{\mathrm {N} }/L_{\mathrm {i} })(1-(L_{\mathrm {l} }-L_{\mathrm {i} })/f).}$$

Si la lente se sostiene a una distancia del objeto tal que su punto focal frontal esté sobre el objeto que se observa, el ojo relajado o sin acomodación (enfocado al infinito) puede ver la imagen (ubicada en L _i = -∞) con la magnificación angular (En la expresión anterior de M _A , en el segundo paréntesis, solo sobrevive el tercer término). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }={25\ \mathrm {cm} \sobre f}.}$$

Aquí,${\textstyle f}$es la distancia focal de la lente en centímetros. La constante de 25 cm es una estimación del punto próximo , la distancia de la posición del objeto más cercano al ojo que forma una imagen nítida en la retina. Para${\textstyle f<25\ \mathrm {cm} }$El objeto a través del cristal parece más grande porque el ángulo subtendido en la retina es mayor, lo que hace que el tamaño de la imagen sea mayor. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Se obtiene la misma magnificación angular cuando la lente se coloca a una distancia de f (la distancia focal de la lente) del ojo ( L _l = f ). ^{[ 2 ]}

La mayor magnificación angular se produce cuando la imagen está a 25 cm del ojo (el punto próximo) y la lente está muy cerca del ojo (de nuevo, L _l ~ 0 y L _i = L _N ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }={25\ \mathrm {cm} \sobre f}+1}$$

En este caso, la magnificación angular es igual a la magnificación lineal (el aumento de la altura relativa del objeto) porque tanto el objeto como la imagen están en la misma posición (el punto próximo). ^{[ 1 ]}

Una interpretación diferente del funcionamiento de este último caso es que la lupa cambia la dioptría del ojo (haciéndolo miope ) ^{[ Nota 2 ]} de modo que el objeto se puede colocar más cerca del ojo, lo que resulta en una mayor magnificación angular.

La magnificación angular de un microscopio viene dada por ^{[ 1 ].}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=M_{\mathrm {o} }\times M_{\mathrm {e} }}$$

dónde${\textstyle M_{\mathrm {o} }}$es el aumento del objetivo y${\textstyle M_{\mathrm {e} }}$La magnificación del ocular. La magnificación del objetivo depende de su distancia focal.${\textstyle f_{\mathrm {o} }}$y en la distancia${\textstyle d}$entre el plano focal posterior del objetivo y el plano focal del ocular (llamado longitud del tubo) ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {o} }=-{d \over f_{\mathrm {o} }}}$$

El aumento del ocular depende de su distancia focal.${\textstyle f_{\mathrm {e} }}$y se calcula mediante la misma ecuación que la de una lupa ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle M_{\mathrm {e} }={25\ \mathrm {cm} \over f_{\mathrm {e} }}}$$

La magnificación angular de un telescopio óptico viene dada por ^{[ 1 ].}

$${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=-{f_{\mathrm {o} } \over f_{\mathrm {e} }}}$$

en el cual${\textstyle f_{\mathrm {o} }}$es la distancia focal de la lente objetivo en un refractor o del espejo primario en un reflector , y${\textstyle f_{\mathrm {e} }}$es la distancia focal del ocular .