Funciones trigonométricas inversas

Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas es biyectiva , deben restringirse para poder tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de las funciones inversas son subconjuntos propios (es decir, estrictos) de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, utilizando la función en el sentido de funciones multivaluadas , al igual que la función raíz cuadrada.${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$podría definirse a partir de${\displaystyle y^{2}=x,}$la función${\displaystyle y=\arcsin(x)}$se define de manera que${\displaystyle \sin(y)=x.}$Para un número real dado${\displaystyle x,}$con${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$hay múltiples (de hecho, infinitos numerables ) números${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle \sin(y)=x}$; Por ejemplo,${\displaystyle \sin(0)=0,}$pero también${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada${\displaystyle x}$en el dominio, la expresión${\displaystyle \arcsin(x)}$evaluará a un único valor, llamado su valor principal . Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.

Los principales inversos se enumeran en la siguiente tabla.

Nota: Algunos autores definen el rango de la arcsecante como (${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$o${\textstyle \pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}}$), ^{[ 12 ]} porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo, usando este rango,${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$mientras que con el rango (${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$o${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$), tendríamos que escribir${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$ya que la tangente es no negativa en${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$pero no positivo en${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$Por una razón similar, los mismos autores definen el rango de la arcosecante como${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$o${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, recorriendo todos sus valores dos veces en cada intervalo de${\displaystyle 2\pi$ :}

• El seno y la cosecante comienzan su período en${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$(dónde${\displaystyle k}$es un número entero), termínelo en${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$y luego se revierten${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$a${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• El coseno y la secante comienzan su período en${\displaystyle 2\pi k,}$terminarlo en${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$y luego se revierten${\displaystyle 2\pi k+\pi }$a${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• Tangent comienza su período en${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ lo termina en${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$y luego lo repite (hacia adelante)${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$a${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Cotangente comienza su período en${\displaystyle 2\pi k,}$lo termina en${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$y luego lo repite (hacia adelante)${\displaystyle 2\pi k+\pi }$a${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

Esta periodicidad se refleja en las inversas generales, donde${\displaystyle k}$es algún número entero.

La siguiente tabla muestra cómo se pueden usar las funciones trigonométricas inversas para resolver igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar. Se supone que los valores dados${\displaystyle \theta ,}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle x,}$y${\displaystyle y}$todos se encuentran dentro de rangos apropiados para que las expresiones relevantes a continuación estén bien definidas . Tenga en cuenta que "para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$" es simplemente otra forma de decir "para algún número entero${\displaystyle k.}$"

El símbolo${\displaystyle \,\iff \,}$es una igualdad lógica e indica que si el lado izquierdo es verdadero, también lo es el lado derecho y, a la inversa, si el lado derecho es verdadero, también lo es el lado izquierdo (consulte esta nota al pie ^{[ nota 1 ]} para obtener más detalles y un ejemplo que ilustra este concepto).

donde las primeras cuatro soluciones se pueden escribir en forma expandida como:

Por ejemplo, si${\displaystyle \cos \theta =-1}$entonces${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$Mientras que si${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$entonces${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$para algunos${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$dónde${\displaystyle k}$será incluso si${\displaystyle \sin \theta =1}$y será extraño si${\displaystyle \sin \theta =-1.}$Las ecuaciones${\displaystyle \sec \theta =-1}$y${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$tienen las mismas soluciones que${\displaystyle \cos \theta =-1}$y${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$respectivamente. En todas las ecuaciones anteriores, excepto las que acabamos de resolver (es decir, excepto${\displaystyle \sin }$/${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$y${\displaystyle \cos }$/${\displaystyle \sec \theta =-1}$), el entero${\displaystyle k}$en la fórmula de la solución está determinado de forma única por${\displaystyle \theta }$(para fijo${\displaystyle r,s,x,}$y${\displaystyle y}$).

Con la ayuda de la paridad entera$${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$ es posible escribir una solución para${\displaystyle \cos \theta =x}$Eso no implica el "más o menos".${\displaystyle \,\pm \,}$símbolo:

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$si y solo si${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$para algunos${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

Y de forma similar para la función secante,

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$si y solo si${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$para algunos${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

dónde${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$igual${\displaystyle \pi h}$cuando el entero${\displaystyle h}$es par, y es igual${\displaystyle \pi h+\pi }$cuando es extraño.

Las ecuaciones anteriores se pueden transformar utilizando las identidades de reflexión y desplazamiento: ^{[ 13 ]}

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumplen las siguientes condiciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

donde intercambiar${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$intercambio${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$y el intercambio${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$proporciona las ecuaciones análogas para${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$respectivamente.

Por ejemplo, utilizando la igualdad${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$la ecuación${\displaystyle \cos \theta =x}$puede transformarse en${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$lo que permite la solución de la ecuación${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$(dónde${\textstyle \varphi$ :={\frac {\pi }{2}}-\theta } ) que debe utilizarse; siendo esa solución: ${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$ lo cual se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$ donde utilizando el hecho de que${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$y sustituyendo${\displaystyle h:=-k}$demuestra que otra solución para${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$es: $${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$ La sustitución${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$puede utilizarse para expresar el lado derecho de la fórmula anterior en términos de${\displaystyle \;\arccos x\;}$en lugar de${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

Las funciones trigonométricas de las funciones trigonométricas inversas se tabulan a continuación. Se pueden derivar de las identidades pitagóricas. Otra forma es considerando la geometría de un triángulo rectángulo, con un lado de longitud 1 y otro lado de longitud .${\displaystyle x,}$luego aplicando el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas. Vale la pena señalar que para la arcsecante y la arccosecante, el diagrama supone que${\displaystyle x}$es positivo, y por lo tanto el resultado debe corregirse mediante el uso de valores absolutos y la operación signo (sgn).

Ángulos complementarios:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

Argumentos negativos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

Argumentos recíprocos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

Las identidades anteriores se pueden usar con (y derivar del) hecho de que${\displaystyle \sin }$y${\displaystyle \csc }$son recíprocos (es decir,${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$), como son${\displaystyle \cos }$y${\displaystyle \sec ,}$y${\displaystyle \tan }$y${\displaystyle \cot .}$

Identidades útiles si solo se dispone de un fragmento de una tabla de senos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Siempre que se utilice la raíz cuadrada de un número complejo en este contexto, elegimos la raíz con la parte real positiva (o la parte imaginaria positiva si el cuadrado fuera real negativo).

Un formulario útil que se deriva directamente de la tabla anterior es

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

Se obtiene al reconocer que${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$.

De la fórmula del semiángulo ,${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$, obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

Esto se deriva de la fórmula de suma de tangentes.

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

dejando

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

Las derivadas para valores complejos de z son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

Solo para valores reales de x :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

Estas fórmulas se pueden derivar en términos de las derivadas de funciones trigonométricas. Por ejemplo, si${\displaystyle x=\sin \theta }$, entonces${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$entonces

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Integrando la derivada y fijando el valor en un punto se obtiene una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida :

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son integrales impropias , pero aún así están bien definidas.

De forma similar a las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden calcular utilizando series de potencias , como sigue. Para el arcoseno, la serie se puede derivar expandiendo su derivada,${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$como una serie binomial , e integrando término a término (usando la definición de integral como se indicó anteriormente). La serie para la arcotangente se puede obtener de manera similar expandiendo su derivada.${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$en una serie geométrica y aplicando la definición integral anterior (véase la serie de Leibniz ).

$${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$$ La serie de Taylor para la arcotangente también se conoce como serie de la arcotangente o serie de Gregory. $${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$$

Las series para las demás funciones trigonométricas inversas se pueden expresar en términos de estas según las relaciones dadas anteriormente. Por ejemplo,${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$,${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$y así sucesivamente. Otra serie viene dada por: ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$$

Leonhard Euler encontró una serie para la arcotangente que converge más rápidamente que su serie de Taylor :

$${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$$^{[ 15 ]} (El término en la suma paran= 0 es elproducto vacío, por lo que también lo es 1.)

Alternativamente, esto puede expresarse como

$${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$$

Otra serie para la función arcotangente viene dada por

$${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$$

dónde${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$es la unidad imaginaria . ^{[ 16 ]}

Para valores reales y complejos de z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

Para x real ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

Para todo x real distinto de -1 y 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

El valor absoluto es necesario para compensar tanto los valores negativos como los positivos de las funciones arcosecante y arcocosecante. La función signo también es necesaria debido a los valores absolutos en las derivadas de ambas funciones, que generan dos soluciones diferentes para valores positivos y negativos de x. Estas se pueden simplificar aún más utilizando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

El valor absoluto en el argumento de la función arcosh crea una mitad negativa de su gráfica, lo que la hace idéntica a la función logarítmica signo que se muestra arriba.

Todas estas antiderivadas se pueden obtener utilizando la integración por partes y las formas de derivadas simples que se muestran arriba.

Estas funciones también pueden expresarse mediante logaritmos complejos . Esto extiende sus dominios al plano complejo de forma natural. Las siguientes identidades para los valores principales de las funciones se cumplen en todos los puntos donde están definidas, incluso en sus puntos de corte.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(z+i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)=i\ln \left(z-i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)=i\ln \left({\frac {1}{z}}-i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$