Cálculo

El cálculo se suele desarrollar trabajando con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para hacerlo fue mediante infinitesimales . Estos son objetos que pueden tratarse como números reales, pero que, en cierto sentido, son "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número de la secuencia 1, 1/2, 1/3, ... y, por lo tanto, menor que cualquier número real positivo . Desde este punto de vista, el cálculo es un conjunto de técnicas para manipular infinitesimales. ^{[ 12 ]}

El enfoque infinitesimal cayó en desuso en el siglo XIX debido a la dificultad de precisar la noción de infinitesimal. A finales del siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados en el ámbito académico por el enfoque épsilon-delta para los límites . Los límites describen el comportamiento de una función en una entrada determinada en función de sus valores en entradas cercanas. Capturan el comportamiento a pequeña escala utilizando la estructura intrínseca del sistema de números reales . En este tratamiento, el cálculo es un conjunto de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por secuencias de números cada vez más pequeños, y el comportamiento infinitesimal de una función se encuentra tomando el comportamiento límite para estas secuencias. Se pensaba que los límites proporcionaban una base más rigurosa para el cálculo, y por esta razón, se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo XX. Sin embargo, el concepto infinitesimal resurgió en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave , que proporcionaron bases sólidas para la manipulación de infinitesimales. ^{[ 12 ]}

El cálculo diferencial estudia la definición, las propiedades y las aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de hallar la derivada se denomina diferenciación . Dada una función y un punto en su dominio, la derivada en ese punto permite describir el comportamiento de la función a pequeña escala cerca de dicho punto. Al hallar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible obtener una nueva función, denominada función derivada o simplemente derivada de la función original. ^{[ 13 ] : 32} Geométricamente hablando, la derivada generaliza la idea de la pendiente de una recta: proporciona una forma de cuantificar la inclinación de la gráfica de una función, incluso cuando dicha gráfica no es una línea recta. ^{[ 10 ] : 78–79}

En la notación de Lagrange , el símbolo de una derivada es una comilla simple llamada prima . Así, la derivada de una función llamada f se denota por f′ , que se pronuncia "f prima" o "f guion". Por ejemplo, si f ( x ) = x² es la función de elevar al cuadrado, entonces ^f ′ ( x ) = 2x es su derivada. ^{[ 10 ] : 63}

Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b , donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la intersección con el eje y , y:

${\displaystyle m={\frac {\text{aumento}}{\text{recorrido}}}={\frac {{\text{cambio en }}y}{{\text{cambio en }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. ^{[ 10 ] : 6} Sin embargo, si la gráfica de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Las derivadas dan un significado exacto a la noción de cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada. Para ser más concretos, sea f una función y fijemos un punto a en el dominio de f . ( a , f ( a )) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a . Por lo tanto, ( a + h , f ( a + h )) está cerca de ( a , f ( a )) . La pendiente entre estos dos puntos es

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Esta expresión se denomina cociente de diferencias . Una línea que pasa por dos puntos de una curva se llama línea secante , por lo que m es la pendiente de la línea secante entre ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )) . La línea secante es solo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a, ya que no considera lo que sucede entre a y a + h . No es posible determinar el comportamiento en a haciendo h igual a cero, porque esto requeriría dividir por cero , lo cual no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y extrae un valor consistente para el caso en que h es igual a cero.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a . La recta tangente es un límite de rectas secantes, al igual que la derivada es un límite de cocientes de diferencias. ^{[ 10 ] : 61–63}

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma el tiempo como entrada y da como salida la posición de una pelota en ese instante, entonces la derivada de f es cómo cambia la posición con el tiempo, es decir, es la velocidad de la pelota. ^{[ 13 ] : 18–20}

Una notación común, introducida por Leibniz, para la derivada en el ejemplo anterior es

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

En un enfoque basado en límites, el símbolo ⁠ dy / dx ⁠ debe interpretarse no como el cociente de dos números, sino como una abreviatura del límite calculado anteriormente. ^{[ 10 ] : 74} Sin embargo, Leibniz sí pretendía que representara el cociente de dos números infinitesimalmente pequeños, siendo dy el cambio infinitesimalmente pequeño en y causado por un cambio infinitesimalmente pequeño dx aplicado a x . También podemos pensar en ⁠ d / dx ⁠ como un operador de diferenciación , que toma una función como entrada y da otra función, la derivada, como salida. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

En este uso, dx en el denominador se lee como "con respecto a x ". ^{[ 10 ] : 79} Otro ejemplo de notación correcta podría ser: ^{[ 10 ] : 74}

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}}$

La integración puede pensarse como la medición del área bajo una curva, definida por f ( x ) , entre dos puntos (aquí a y b ).

Una sucesión de sumas de Riemann de punto medio sobre una partición regular de un intervalo: el área total de los rectángulos converge a la integral de la función.

El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de dos conceptos relacionados: la integral indefinida y la integral definida . El proceso de hallar el valor de una integral se denomina integración . ^{[ 11 ] : 508} La integral indefinida, también conocida como antiderivada , es la operación inversa de la derivada. ^{[ 10 ] : 163–165} F es una integral indefinida de f cuando f es una derivada de F. (Este uso de letras minúsculas y mayúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo). La integral definida toma como entrada una función y produce como salida un número, que da la suma algebraica de las áreas entre la gráfica de la entrada y el eje x . La definición técnica de la integral definida implica el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann . ^{[ 14 ] : 282}

Un ejemplo motivador es la distancia recorrida en un tiempo determinado. ^{[ 10 ] : 153} Si la velocidad es constante, solo se necesita multiplicar:

${\displaystyle \mathrm {Distancia} =\mathrm {Velocidad} \cdot \mathrm {Tiempo} }$

Pero si la velocidad cambia, se necesita un método más preciso para calcular la distancia. Un método consiste en aproximar la distancia recorrida dividiendo el tiempo en intervalos cortos, multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades de dicho intervalo y, finalmente, sumando (una suma de Riemann ) las distancias aproximadas recorridas en cada intervalo. La idea básica es que, si transcurre poco tiempo, la velocidad se mantendrá prácticamente constante. Sin embargo, una suma de Riemann solo proporciona una aproximación de la distancia recorrida. Debemos calcular el límite de todas estas sumas de Riemann para hallar la distancia exacta.

Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo dado se puede calcular multiplicando la velocidad por el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50  mph durante 3 horas resulta en una distancia total de 150 millas. Al graficar la velocidad en función del tiempo se obtiene un rectángulo con una altura igual a la velocidad y un ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de la velocidad y el tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). ^{[ 11 ] : 535} Esta relación entre el área bajo una curva y la distancia recorrida se puede extender a cualquier región de forma irregular que exhiba una velocidad fluctuante durante un período dado. Si f ( x ) representa la velocidad a medida que varía con el tiempo, la distancia recorrida entre los tiempos representados por a y b es el área de la región entre f ( x ) y el eje x , entre x = a y x = b .

Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir la distancia entre a y b en varios segmentos iguales, cuya longitud se representa con el símbolo Δx . Para cada segmento pequeño, podemos elegir un valor de la función f ( x ) . Llamemos a ese valor h . Entonces, el área del rectángulo con base Δx y altura h da la distancia (tiempo Δx multiplicado por velocidad h ) recorrida en ese segmento. A cada segmento se le asocia el valor promedio de la función anterior, f ( x ) = h . La suma de todos estos rectángulos da una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor menor para Δx dará más rectángulos y, en la mayoría de los casos , una mejor aproximación, pero para obtener una respuesta exacta, necesitamos tomar un límite cuando Δx tiende a cero. ^{[ 11 ] : 512–522}

El símbolo de la integración es${\displaystyle \int }$, una S alargada elegida para sugerir sumatoria. ^{[ 11 ] : 529} La integral definida se escribe como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

y se lee "la integral de a a b de f -de- x con respecto a x ". La notación de Leibniz dx pretende sugerir la división del área bajo la curva en un número infinito de rectángulos de modo que su ancho Δ x se convierta en el infinitesimalmente pequeño dx . ^{[ 13 ] : 44}

La integral indefinida, o antiderivada, se escribe:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Las funciones que difieren solo en una constante tienen la misma derivada, y se puede demostrar que la antiderivada de una función dada es una familia de funciones que difieren solo en una constante. ^{[ 14 ] : 326 Dado} que la derivada de la función y = x² + C , donde C es cualquier constante, es y′ = 2x , la antiderivada de esta última viene dada por:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

La constante no especificada C presente en la integral indefinida o antiderivada se conoce como constante de integración . ^{[ 15 ] : 135}

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. ^{[ 14 ] : 290} Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas con las integrales definidas. Dado que suele ser más sencillo calcular una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También puede interpretarse como una afirmación precisa de que la diferenciación es la inversa de la integración.

El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [ a , b ] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo ( a , b ) , entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Además, para cada x en el intervalo ( a , b ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Esta constatación, realizada tanto por Newton como por Leibniz , fue clave para la proliferación de resultados analíticos tras la difusión de su trabajo. (Resulta difícil determinar hasta qué punto Newton y Leibniz fueron influenciados por sus predecesores inmediatos, y en particular lo que Leibniz pudo haber aprendido del trabajo de Isaac Barrow , debido a la disputa sobre la prioridad entre ellos. ^{[ 16 ]} ) El teorema fundamental proporciona un método algebraico para calcular muchas integrales definidas —sin realizar procesos de límite— mediante la obtención de fórmulas para antiderivadas . También constituye una solución prototípica de una ecuación diferencial . Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con sus derivadas y son omnipresentes en las ciencias. ^{[ 17 ] : 351–352}

El cálculo multivariable es la extensión del cálculo en una variable a funciones de varias variables : la diferenciación e integración de funciones que involucran múltiples variables ( multivariadas ), en lugar de solo una. ^{[ 18 ]}

El cálculo vectorial es una rama del cálculo multivariable que se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales , principalmente en el espacio euclidiano tridimensional .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$^{[ 19 ] [ 20 ] : 28}(El términocálculo vectorialse usa a veces como sinónimo del tema más amplio del cálculo multivariable en general). El cálculo vectorial juega un papel importante enla geometría diferencialy en el estudio deecuaciones diferenciales parciales. Se usa ampliamente en física e ingeniería, especialmente en la descripción decampos electromagnéticos,campos gravitatoriosyflujo de fluidos.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas. ^{[ 21 ]} En las aplicaciones, las funciones generalmente representan magnitudes físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes en modelos matemáticos y leyes científicas ; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel fundamental en muchas disciplinas, como la ingeniería , la física , la economía y la biología .

Por ejemplo, la ecuación diferencial $${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=-af(t)}$$ se resuelve mediante una función${\displaystyle f(t)}$que es proporcional a su propia derivada. Cualquier función de este tipo tiene la forma $${\displaystyle f(t)=Ce^{-at},}$$ dónde${\displaystyle C}$es una constante. Esta ecuación diferencial describe el decaimiento exponencial . ^{[ 20 ] : 458}

El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación) y de las propiedades de dichas soluciones. Solo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas con exactitud, y las ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse con exactitud suelen ser susceptibles de aproximaciones numéricas.

El análisis real proporciona los fundamentos rigurosos del cálculo, estableciendo que las ideas que a menudo se introducen heurísticamente en el cálculo introductorio tienen una base sólida. Estudia el comportamiento de los números reales , las sucesiones y series de números reales, y las funciones reales . ^{[ 22 ]} Algunas propiedades particulares de las sucesiones y funciones de valor real que estudia el análisis real incluyen la convergencia , los límites, la continuidad , la suavidad , la diferenciabilidad y la integrabilidad.

El análisis complejo investiga funciones de una variable compleja . ^{[ 20 ] : 253} Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluyendo el análisis real, la geometría algebraica , la teoría de números , la combinatoria analítica y las matemáticas aplicadas , así como en física, incluyendo las ramas de la hidrodinámica , la termodinámica , la mecánica cuántica y la teoría de twistores . Por extensión, el uso del análisis complejo también tiene aplicaciones en campos de la ingeniería como la nuclear , la aeroespacial , la mecánica y la eléctrica . ^{[ 23 ]}

La derivada de una función${\displaystyle f}$de una variable compleja${\displaystyle z}$se puede definir igual que en el cálculo elemental: $${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}.}$$ Porque el límite${\displaystyle \Delta z\to 0}$Puede tomarse en cualquier dirección en el plano complejo, la condición de diferenciabilidad es más restrictiva para funciones de una variable compleja que para funciones de una variable real. ^{[ 24 ]} El análisis complejo estudia las funciones holomorfas , las funciones diferenciables de una variable compleja. A diferencia del caso real, una función holomorfa es siempre infinitamente diferenciable e igual a la suma de su serie de Taylor en algún entorno de cada punto de su dominio . Esto hace que los métodos y resultados del análisis complejo sean significativamente diferentes de los del análisis real.

El cálculo de variaciones (o cálculo variacional ) estudia los funcionales de forma análoga a como el cálculo elemental estudia las funciones. Mientras que el cálculo elemental considera cambios infinitesimalmente pequeños en los valores de entrada y salida de las funciones, el cálculo de variaciones considera cambios infinitesimalmente pequeños en las funciones mismas. Un funcional es una función que asigna a un conjunto de funciones los números reales. El cálculo de variaciones estudia cómo cambia la salida de un funcional cuando la función de entrada se ve infinitesimalmente perturbada.

Un ejemplo sencillo de este problema es encontrar la curva de menor longitud que conecta dos puntos. Si no hay restricciones, la solución es una línea recta entre los puntos. Sin embargo, si la curva está restringida a estar sobre una superficie en el espacio, la solución es menos obvia y posiblemente existan muchas soluciones. Dichas soluciones se conocen como geodésicas . ^{[ 25 ] : 472} Un problema relacionado lo plantea el principio de Fermat : la luz sigue el camino de menor longitud óptica que conecta dos puntos, el cual depende del material del medio. ^{[ 20 ] : 715–718} Un concepto correspondiente en mecánica es el principio de acción mínima/estacionaria . ^{[ 20 ] : 720}

Los funcionales suelen expresarse como integrales definidas que involucran funciones y sus derivadas . Las funciones que maximizan o minimizan los funcionales pueden hallarse mediante la ecuación de Euler-Lagrange del cálculo de variaciones. ^{[ 25 ] : 476–477}

La obra de Johannes Kepler , Stereometria Doliorum (1615), sentó las bases del cálculo integral. ^{[ 39 ]} Kepler desarrolló un método para calcular el área de una elipse sumando las longitudes de muchos radios trazados desde un foco de la elipse. ^{[ 40 ]} Bonaventura Cavalieri , basándose en el trabajo de Kepler, ^{[ 40 ]} argumentó que los volúmenes y las áreas debían calcularse como la suma de los volúmenes y las áreas de secciones transversales infinitesimalmente delgadas.

El estudio formal del cálculo reunió los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa aproximadamente en la misma época. Pierre de Fermat , afirmando haber tomado prestado de Diofanto , introdujo el concepto de adecuación , que representaba la igualdad salvo un término de error infinitesimal. ^{[ 41 ]} La combinación fue lograda por John Wallis , Isaac Barrow y James Gregory , quienes, en torno a 1670, demostraron parte del teorema fundamental del cálculo. ^{[ 42 ] [ 43 ]}

La regla del producto y la regla de la cadena , ^{[ 44 ]} las nociones de derivadas superiores y series de Taylor , ^{[ 45 ]} y de funciones analíticas ^{[ 46 ]} fueron utilizadas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que aplicó para resolver problemas de física matemática . En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraban irreprochables. Utilizó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, el achatamiento de la Tierra, el movimiento de un peso deslizándose sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en su Principia Mathematica (1687). En otros trabajos, desarrolló expansiones en serie para funciones, incluyendo potencias fraccionarias e irracionales, y era evidente que comprendía los principios de las series de Taylor . No publicó todos estos descubrimientos, y en ese momento, los métodos infinitesimales todavía se consideraban deshonrosos. ^{[ 47 ]}

Isaac Newton desarrolló el uso del cálculo en sus leyes del movimiento y de la gravitación universal .

Gottfried Wilhelm Leibniz fue el primero en enunciar claramente las reglas del cálculo.

Gottfried Wilhelm Leibniz organizó estas ideas en un verdadero cálculo de infinitesimales , a quien Newton acusó inicialmente de plagio . ^{[ 48 ]} Actualmente se le considera un inventor independiente y un contribuyente al cálculo. Su contribución consistió en proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de derivadas de segundo orden y superiores, y ofreciendo la regla del producto y la regla de la cadena , en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz dedicó un gran esfuerzo a la elección de su notación. ^{[ 49 ]}

Hoy en día, tanto Newton como Leibniz suelen ser reconocidos por haber inventado y desarrollado el cálculo de forma independiente. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general . Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada en el cálculo actual. ^{[ 13 ] : 51–52} Las ideas fundamentales que aportaron Newton y Leibniz condujeron al desarrollo de las leyes de diferenciación e integración, a su énfasis en que la diferenciación y la integración son procesos inversos, al desarrollo de métodos para calcular las derivadas de segundo orden y superiores, y a la formulación de la noción para aproximar una serie polinómica.

Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y por lo tanto qué país) merecía el crédito. Newton derivó sus resultados primero en 1665-1666 (que luego se publicarían en su Método de Fluxiones ), pero Leibniz publicó su " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " primero en 1684. Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society . Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos de Europa continental durante muchos años, en detrimento de las matemáticas inglesas. ^{[ 50 ]} Un examen cuidadoso de los trabajos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, fue Leibniz quien dio nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo " la ciencia de las fluxiones ", un término que perduró en las escuelas inglesas hasta el siglo XIX. ^{[ 51 ] : 100} El primer tratado completo sobre cálculo escrito en inglés y que utilizaba la notación de Leibniz no se publicó hasta 1815. ^{[ 52 ]}

Desde la época de Newton y Leibniz, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi . ^{[ 53 ] [ 54 ]}

En cálculo, los fundamentos se refieren al desarrollo riguroso de la materia a partir de axiomas y definiciones. En los inicios del cálculo, el uso de cantidades infinitesimales se consideraba poco riguroso y fue duramente criticado por varios autores, entre los que destacan Michel Rolle y el obispo Berkeley . Berkeley describió los infinitesimales como los fantasmas de cantidades desaparecidas en su libro El analista, publicado en 1734. Elaborar una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo posterior a Newton y Leibniz. ^{[ 12 ]}

Varios matemáticos, entre ellos Maclaurin , intentaron demostrar la validez del uso de infinitesimales, pero no fue hasta 150 años después, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass , cuando finalmente se encontró una manera de evitar las meras "nociones" de cantidades infinitesimales. ^{[ 55 ]} Se sentaron las bases del cálculo diferencial e integral. En el Cours d'Analyse de Cauchy , encontramos una amplia gama de enfoques fundamentales, incluyendo una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de una definición (ε, δ) de límite en la definición de diferenciación. ^{[ 56 ]} En su obra, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó los infinitesimales (aunque su definición puede validar infinitesimales de cuadrado nulo ). Siguiendo el trabajo de Weierstrass, con el tiempo se hizo común basar el cálculo en límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se denomina ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann utilizó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. ^{[ 57 ]} Fue también durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron al plano complejo con el desarrollo del análisis complejo . ^{[ 58 ]}

En matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real , que contiene definiciones y demostraciones completas de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha extendido enormemente. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida , basándose en desarrollos previos de Émile Borel , y la utilizó para definir integrales de todas las funciones, excepto las más patológicas . ^{[ 59 ]} Laurent Schwartz introdujo las distribuciones , que pueden utilizarse para calcular la derivada de cualquier función. ^{[ 60 ]}

Los límites no son el único enfoque riguroso para los fundamentos del cálculo. Otra forma es utilizar el análisis no estándar de Abraham Robinson . El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema de números reales con números infinitesimales e infinitos , como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se llaman números hiperreales , y pueden usarse para dar un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas usuales del cálculo. ^{[ 61 ]} También existe el análisis infinitesimal suave , que difiere del análisis no estándar en que exige ignorar los infinitesimales de potencia superior durante las derivaciones. ^{[ 12 ]} Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , el análisis infinitesimal suave considera que todas las funciones son continuas e incapaces de ser expresadas en términos de entidades discretas . Un aspecto de esta formulación es que la ley del tercero excluido no se cumple. ^{[ 12 ]} La ley del tercero excluido también se rechaza en las matemáticas constructivas , una rama de las matemáticas que insiste en que las pruebas de la existencia de un número, función u otro objeto matemático deben proporcionar una construcción del objeto. Las reformulaciones del cálculo en un marco constructivo forman parte generalmente del objeto del análisis constructivo . ^{[ 12 ]}

Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado anteriormente en Grecia , China , India , Irak, Persia y Japón , el uso del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Newton y Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores para introducir sus principios básicos. ^{[ 31 ] [ 47 ] [ 62 ]} El polímata húngaro John von Neumann escribió sobre este trabajo:

El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobreestimar su importancia. Creo que define, más inequívocamente que cualquier otra cosa, el inicio de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, sigue constituyendo el mayor avance técnico en el pensamiento exacto. ^{[ 63 ]}

Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos que involucran velocidad y aceleración , la pendiente de una curva y optimización . ^{[ 11 ] : 341–453} Las aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos que involucran área, volumen , longitud de arco , centro de masa , trabajo y presión . ^{[ 11 ] : 685–700} Las aplicaciones más avanzadas incluyen series de potencias y series de Fourier .

El cálculo también se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, matemáticos y filósofos lidiaron con paradojas que involucran la división por cero o sumas de infinitos números. Estas cuestiones surgen en el estudio del movimiento y el área. El antiguo filósofo griego Zenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas . El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita , que resuelven las paradojas. ^{[ 64 ]}