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Circunferencia

circunferencia C diámetro D radio R centro u origen O Circunferencia = π × diámetro = 2 π × radio. En geometría , la circunferencia ( del latín circumferēns ' qu...

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  circunferencia C
  diámetro D
  radio R
  centro u origen O
Circunferencia = π × diámetro = 2 π × radio.

En geometría , la circunferencia ( del latín circumferēns ' que lleva alrededor, que rodea ' ) es el perímetro de un círculo o elipse . La circunferencia es la longitud del arco del círculo, como si se abriera y se enderezara hasta formar un segmento de línea . [ 1 ] De manera más general, el perímetro es la longitud de la curva alrededor de cualquier figura cerrada. La circunferencia también puede referirse al círculo mismo, es decir, al lugar geométrico correspondiente al borde de un disco . La circunferencia de una esfera es la circunferencia, o longitud, de cualquiera de suscírculos máximos.

Círculo

La circunferencia de un círculo es la distancia alrededor del mismo, pero si, como en muchos tratamientos elementales, la distancia se define en términos de líneas rectas, esta no puede utilizarse como definición. En tales circunstancias, la circunferencia de un círculo puede definirse como el límite de los perímetros de polígonos regulares inscritos cuando el número de lados aumenta indefinidamente. [ 2 ] El término circunferencia se utiliza tanto para medir objetos físicos como para considerar formas geométricas abstractas.

Cuando el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia esπ.{\displaystyle \pi .}
Cuando el radio de un círculo es 1 (llamado círculo unitario) , su circunferencia es2π.{\displaystyle 2\pi .}

Arquímedes describió cómo se puede definir y calcular la circunferencia utilizando el método de agotamiento . En términos modernos, se considera un conjuntoA{\displaystyle A}de todos los perímetros de polígonos inscritos , un conjuntoB{\displaystyle B}de todos los perímetros de los polígonos que circunscriben el círculo. Cada elemento deA{\displaystyle A}es menos que cada elemento deB{\displaystyle B}y no hay brecha positiva: ningún número que sea menor que todas las diferencias de elementos deA{\displaystyle A}de elementos deB{\displaystyle B}Por lo tanto, la circunferencia puede definirse y calcularse como el número único .incógnita{\displaystyle x}de tal manera quea<incógnita<b{\displaystyle a<x<b}por cada perímetro inscritoa{\displaystyle a}y cada perímetro circunscritob{\displaystyle b}.

Relación con π

La circunferencia de un círculo está relacionada con una de las constantes matemáticas más importantes . Esta constante , pi , está representada por la letra griega π.π.{\displaystyle \pi .}Sus primeros dígitos decimales son 3.141592653589793... [ 3 ] Pi se define como la razón de la circunferencia de un círculodo{\displaystyle C}a su diámetrod:{\displaystyle d:}[ 4 ]π=dod.{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}

O, equivalentemente, como la razón entre la circunferencia y el doble del radio . La fórmula anterior se puede reordenar para despejar la circunferencia: do=π⋅d=2π⋅r.{\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}

La relación entre la circunferencia del círculo y su radio es equivalente a2π{\displaystyle 2\pi }. [ a ] ​​Este es también el número de radianes en una vuelta . El uso de la constante matemática π es omnipresente en matemáticas, ingeniería y ciencia.

En Medición de un círculo, escrito alrededor del año 250 a. C., Arquímedes demostró que esta proporción (escrita comodo/d,{\displaystyle C/d,}Dado que no utilizó el nombre π ) era mayor que 3 ⁠ 10 / 71 ⁠ pero menor que 3 ⁠ 1 / 7 ⁠ calculando los perímetros de un polígono regular inscrito y circunscrito de 96 lados. [ 9 ] Este método para aproximar π se utilizó durante siglos, obteniendo mayor precisión al utilizar polígonos de mayor y mayor número de lados. El último cálculo de este tipo lo realizó en 1630 Christoph Grienberger, quien utilizó polígonos con 10 40 lados.

Circunferencia en el análisis

En el análisis matemático moderno , la circunferencia de un círculo se puede definir como su medida unidimensional . Una definición intrínseca común es la medida de Hausdorff . Simi{\displaystyle E}es un subconjunto del plano euclidiano, su medida de Hausdorff unidimensional se obtiene cubriendomi{\displaystyle E}con conjuntos de diámetro pequeño y tomando el ínfimo de las sumas de esos diámetros.

Para curvas suficientemente regulares, esta medida coincide con la noción habitual de longitud de arco. De forma equivalente, siγ:[a,b]→R2{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} es una curva rectificable , su longitud se puede definir como L(γ)=sorber∑i=1norte|γ(ti)−γ(ti−1)|,{\displaystyle L(\gamma )=\sup \sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|,} donde el supremo se toma sobre todas las particionesa=t0<t1<⋯<tnorte=b.{\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b.} Para curvas continuamente diferenciables, esta longitud es igual a L(γ)=∫ab|γ′(t)|,dt.{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|,dt.}

Aplicando esto al círculo de radio (r), con parametrización γ(t)=(rporque⁡t,rpecado⁡t),0≤t≤2π,{\displaystyle \gamma (t)=(r\cos t,r\sin t),\qquad 0\leq t\leq 2\pi ,} da|γ′(t)|=r{\displaystyle |\gamma '(t)|=r}y por lo tanto L(γ)=∫02πr,dt=2πr.{\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{2\pi }r,dt=2\pi r.} Así, en el análisis, la fórmula para la circunferencia se deduce de una definición general de longitud unidimensional en lugar de asumir de antemano que el círculo tiene un perímetro dado por el agotamiento poligonal.

Elipse

Círculo y elipses con la misma circunferencia.

Algunos autores utilizan la circunferencia para denotar el perímetro de una elipse. No existe una fórmula general para la circunferencia de una elipse en términos de los semiejes mayor y menor de la elipse que utilice únicamente funciones elementales. Sin embargo, existen fórmulas aproximadas en términos de estos parámetros. Una de estas aproximaciones, debida a Euler (1773), para la elipse canónica ,incógnita2a2+y2b2=1,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,} es domillipagsmi∼π2(a2+b2).{\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.} Algunos límites inferiores y superiores en la circunferencia de la elipse canónica cona≥b{\displaystyle a\geq b}son: [ 10 ]2πb≤do≤2πa,{\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}π(a+b)≤do≤4(a+b),{\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}4a2+b2≤do≤π2(a2+b2).{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}

Aquí el límite superior2πa{\displaystyle 2\pi a}es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los extremos del eje mayor de la elipse, y el límite inferior4a2+b2{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los extremos de los ejes mayor y menor.

La circunferencia de una elipse puede expresarse exactamente en términos de la integral elíptica completa de segundo tipo . [ 11 ] Más precisamente, domillipagsmi=4a∫0π/21−mi2pecado2⁡θ dθ,{\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,} dóndea{\displaystyle a}es la longitud del semieje mayor ymi{\displaystyle e}es la excentricidad1−b2/a2.{\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}

Véase también

Notas

  1. ↑ La letra griega 𝜏 (tau) se utiliza a veces para representar esta constante . Esta notación es aceptada en varias calculadoras en línea [ 5 ] y en muchos lenguajes de programación. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

Referencias

  1. ↑ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Uso y comprensión de las matemáticas / Un enfoque de razonamiento cuantitativo (3.ª  ed.), Addison-Wesley, pág.  580, ISBN 978-0-321-22773-7
  2. ↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometría , WH Freeman and Co., pág. 565, ISBN  0-7167-0456-0
  3. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000796" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.  
  4. ↑ "Lección de fundamentos matemáticos: Circunferencia de círculos" . openhighschoolcourses.org . Consultado el 2 de diciembre de 2024 .
  5. ↑ "Funciones compatibles" . help.desmos.com . Archivado del original el 26 de marzo de 2023. Consultado el 21 de octubre de 2024 .
  6. ↑ "math — Funciones matemáticas" . Documentación de Python 3.7.0 . Archivado del original el 29/07/2019 . Consultado el 05/08/2019 .
  7. ↑ "Clase de matemáticas" . Documentación de Java 19 .
  8. ↑ "std::f64::consts::TAU - Rust" . doc.rust-lang.org . Archivado del original el 18 de julio de 2023. Consultado el 21 de octubre de 2024 .
  9. ↑ Katz, Victor J. (1998), Historia de las matemáticas / Una introducción (2.ª ed.), Addison-Wesley Longman, pág. 109 , ISBN   978-0-321-01618-8
  10. ↑ Jameson, GJO (2014). " Desigualdades para el perímetro de una elipse". Mathematical Gazette . 98 (499): 227– 234. doi : 10.2307/3621497 . JSTOR 3621497. S2CID 126427943 .  
  11. ↑ Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, la media aritmético-geométrica, las elipsis, π y el Diario de Damas", American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608 , doi : 10.2307/2323302 , JSTOR 2323302 , MR 0966232 , S2CID 119810884   
  • Numericana - Circunferencia de una elipse