Conoide

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,-\sin u,z_{0})\ ,\ 0\leq u<2\pi ,v\in \mathbb {R} }$

Describe un conoide circular recto con el círculo unitario del plano xy como directriz y un plano directriz, que es paralelo al plano y-z. Su eje es la línea${\displaystyle (x,0,z_{0})\ x\in \mathbb {R} \ .}$

Características especiales :

1. La intersección con un plano horizontal es una elipse.
2. ${\displaystyle (1-x^{2})(z-z_{0})^{2}-y^{2}z_{0}^{2}=0}$es una representación implícita. Por lo tanto, el conoide circular recto es una superficie de grado 4.
3. La regla de Kepler da para un conoide circular recto con radio${\displaystyle r}$y altura${\displaystyle h}$el volumen exacto:${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{2}}r^{2}h}$.

La representación implícita se cumple mediante los puntos de la línea.${\displaystyle (x,0,z_{0})}$, también. Para estos puntos no existen planos tangentes . Dichos puntos se denominan singulares .

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,}$

describe un conoide parabólico con la ecuación${\displaystyle z=-xy^{2}}$El conoide tiene como directriz una parábola, el eje y como eje y un plano paralelo al plano xz como plano directriz. Los arquitectos lo utilizan como superficie de cubierta (véase más abajo).

El conoide parabólico no tiene puntos singulares.

1. paraboloide hiperbólico
2. conoide de Plücker
3. Paraguas Whitney
4. helicoide

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  paraboloide hiperbólico
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  conoide de Plücker
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  Paraguas Whitney

Hay muchos conoides con puntos singulares, que se investigan en geometría algebraica .

Al igual que otras superficies regladas, los conoides son de gran interés para los arquitectos, ya que pueden construirse utilizando vigas o barras. Los conoides rectos se fabrican fácilmente: se enroscan barras sobre un eje de forma que solo puedan girar alrededor de este. Posteriormente, se desvían las barras mediante una directriz y se genera un conoide (véase conoide parabólico).