Cilindro

El término cilindro se refiere a menudo a un cilindro sólido con extremos circulares perpendiculares al eje, es decir, un cilindro circular recto, como se muestra en la figura. La superficie cilíndrica sin los extremos se denomina cilindro abierto . Las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de un cilindro circular recto se conocen desde la antigüedad.

Un cilindro circular recto también puede considerarse como el sólido de revolución generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Estos cilindros se utilizan en una técnica de integración (el "método del disco") para obtener volúmenes de sólidos de revolución. ^{[ 4 ]}

Un cilindro de aguja alto y delgado tiene una altura mucho mayor que su diámetro, mientras que un cilindro de disco corto y ancho tiene un diámetro mucho mayor que su altura.

Una sección cilíndrica es la intersección de la superficie de un cilindro con un plano . Generalmente son curvas y constituyen un tipo especial de secciones planas . La sección cilíndrica de un cilindro formada por un plano que contiene dos elementos de un cilindro es un paralelogramo . ^{[ 5 ]} Dicha sección cilíndrica de un cilindro recto es un rectángulo . ^{[ 5 ]}

Una sección cilíndrica en la que el plano de intersección interseca y es perpendicular a todos los elementos del cilindro se denomina sección recta . ^{[ 6 ]} Si una sección recta de un cilindro es un círculo, entonces el cilindro es circular. En términos más generales, si una sección recta de un cilindro es una sección cónica (parábola, elipse, hipérbola), entonces se dice que el cilindro sólido es parabólico, elíptico e hiperbólico, respectivamente.

Para un cilindro circular recto, existen varias formas en que los planos pueden intersecarlo. Primero, los planos que intersecan una base en un máximo de un punto. Un plano es tangente al cilindro si lo interseca en un solo elemento. Las secciones derechas son círculos y todos los demás planos intersecan la superficie cilíndrica en una elipse . ^{[ 7 ]} Si un plano interseca una base del cilindro en exactamente dos puntos, el segmento de línea que une estos puntos forma parte de la sección cilíndrica. Si dicho plano contiene dos elementos, su sección cilíndrica es un rectángulo; de lo contrario, los lados de la sección cilíndrica son porciones de una elipse. Finalmente, si un plano contiene más de dos puntos de una base, contiene toda la base y la sección cilíndrica es un círculo.

En el caso de un cilindro circular recto con una sección cilíndrica elíptica, la excentricidad e de la sección cilíndrica y el semieje mayor a de la sección cilíndrica dependen del radio del cilindro r y del ángulo α entre el plano secante y el eje del cilindro, de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

Si la base de un cilindro circular tiene un radio r y el cilindro tiene una altura h , entonces su volumen viene dado por $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

Esta fórmula se cumple independientemente de si el cilindro es recto o no. ^{[ 8 ]}

Esta fórmula puede establecerse utilizando el principio de Cavalieri .

En términos más generales, siguiendo el mismo principio, el volumen de cualquier cilindro es el producto del área de su base y su altura. Por ejemplo, un cilindro elíptico con una base de semieje mayor a , semieje menor b y altura h tiene un volumen V = Ah , donde A es el área de la elipse de la base (= π ab ). Este resultado para cilindros elípticos rectos también se puede obtener mediante integración, considerando el eje del cilindro como el eje x positivo y A ( x ) = A el área de cada sección transversal elíptica, de la siguiente manera: $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

Utilizando coordenadas cilíndricas , el volumen de un cilindro circular recto se puede calcular mediante integración. $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

Con radio r y altura h , la superficie de un cilindro circular recto, orientado de manera que su eje sea vertical, consta de tres partes:

• el área de la base superior: π r ²
• el área de la base inferior: π r ²
• El área del lado: 2π rh

El área de las bases superior e inferior es la misma y se llama área de la base , B. El área del lado se conoce como área lateral , L.

Un cilindro abierto no incluye elementos superior ni inferior y, por lo tanto, tiene área superficial (área lateral). $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

El área de la superficie del cilindro circular recto sólido está formada por la suma de sus tres componentes: parte superior, parte inferior y lado. Por lo tanto, su área de superficie es $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$ donde d = 2 r es el diámetro de la parte superior o inferior circular.

Para un volumen dado, el cilindro circular recto con la menor área superficial tiene h = 2 r . De forma equivalente, para un área superficial dada, el cilindro circular recto con el mayor volumen tiene h = 2 r , es decir, el cilindro encaja perfectamente en un cubo de lado igual a altura (= diámetro del círculo de la base). ^{[ 9 ]}

El área lateral, L , de un cilindro circular, que no necesariamente tiene que ser un cilindro recto, viene dada de forma más general por $${\displaystyle L=e\times p,}$$ donde e es la longitud de un elemento y p es el perímetro de una sección recta del cilindro. ^{[ 10 ]} Esto produce la fórmula anterior para el área lateral cuando el cilindro es un cilindro circular recto.

Un cilindro hueco circular recto (o cáscara cilíndrica ) es una región tridimensional delimitada por dos cilindros circulares rectos que tienen el mismo eje y dos bases anulares paralelas perpendiculares al eje común de los cilindros, como se muestra en el diagrama.

Sea h la altura, r el radio interno y R el radio externo . El volumen se obtiene restando el volumen del cilindro interno imaginario (es decir, el espacio hueco) del volumen del cilindro externo: $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(Rr).}$$ Por lo tanto, el volumen de una cáscara cilíndrica es igual a 2π × radio promedio × altura × espesor. ^{[ 11 ]}

El área de la superficie, incluyendo la parte superior e inferior, viene dada por $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$ Las cáscaras cilíndricas se utilizan en una técnica de integración común para encontrar volúmenes de sólidos de revolución. ^{[ 12 ]}

En el tratado del mismo nombre, escrito hacia el 225 a. C. , Arquímedes obtuvo el resultado del que más se enorgulleció: las fórmulas para el volumen y el área de la superficie de una esfera , aprovechando la relación entre una esfera y su cilindro circular recto circunscrito de la misma altura y diámetro . La esfera tiene un volumen dos tercios del del cilindro circunscrito y un área de superficie dos tercios del del cilindro (incluidas las bases). Dado que los valores del cilindro ya se conocían, obtuvo, por primera vez, los valores correspondientes para la esfera. El volumen de una ^esfera de radio r es 4/3 π r³ = 2/3 ( 2 π r³ ) . ^El área ^de la superficie de esta esfera es 4 π r² = 2/3 ( 6 π r² ) ^. A petición suya, se colocaron una esfera y un cilindro esculpidos sobre la tumba de Arquímedes.

Si AB > 0, esta es la ecuación de un cilindro elíptico . ^{[ 16 ]} Se puede obtener una mayor simplificación mediante la traslación de ejes y la multiplicación escalar. Si${\displaystyle \rho }$Si tiene el mismo signo que los coeficientes A y B , entonces la ecuación de un cilindro elíptico se puede reescribir en coordenadas cartesianas como: $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$ Esta ecuación de un cilindro elíptico es una generalización de la ecuación del cilindro circular ordinario ( a = b ). Los cilindros elípticos también se conocen como cilindroides , pero ese nombre es ambiguo, ya que también puede referirse al conoide de Plücker .

Si${\displaystyle \rho }$tiene un signo diferente al de los coeficientes, obtenemos los cilindros elípticos imaginarios : $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ que no tienen ningún sentido real. (${\displaystyle \rho =0}$da un único punto real.)

Si A y B tienen signos diferentes y${\displaystyle \rho \neq 0}$, obtenemos los cilindros hiperbólicos , cuyas ecuaciones pueden reescribirse como: $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Finalmente, si AB = 0, supongamos, sin pérdida de generalidad , que B = 0 y A = 1 para obtener los cilindros parabólicos con ecuaciones que se pueden escribir como: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$