Enumeración

• Java

enum Nivel { BAJO , MEDIO , ALTO }

• C++

enum Color { ROJO , VERDE , AZUL }; // ROJO=0, VERDE=1, AZUL=2 Color myColor = ROJO ;

Cuando se utiliza una enumeración en un contexto de lista ordenada , se impone algún tipo de requisito de ordenación al conjunto de índices . Si bien podemos flexibilizar los requisitos de ordenación para permitir una mayor generalidad, el requisito previo más natural y común es que el conjunto de índices esté bien ordenado . Según esta caracterización, una enumeración ordenada se define como una sobreyección (una relación de sobreyección) con un dominio bien ordenado. Esta definición es natural en el sentido de que una ordenación adecuada en el conjunto de índices proporciona una forma única de listar el siguiente elemento a partir de una enumeración parcial.

Salvo que se especifique lo contrario, una enumeración se realiza mediante números naturales . Es decir, una enumeración de un conjunto S es una función biyectiva de los números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} }$o un segmento inicial {1, ..., n } de los números naturales a S.

Un conjunto es numerable si se puede enumerar, es decir, si existe una enumeración del mismo. De lo contrario, es incontable . Por ejemplo, el conjunto de los números reales es incontable.

Un conjunto es finito si puede enumerarse mediante un segmento inicial propio {1, ..., n } de los números naturales, en cuyo caso su cardinalidad es n . El conjunto vacío es finito, ya que puede enumerarse mediante el segmento inicial vacío de los números naturales.

El términoEl término " conjunto enumerable " se utiliza a veces para referirse a conjuntos contables. Sin embargo, también se usa con frecuencia para referirsea conjuntos computablemente enumerables, que son los conjuntos contables para los que se puede calcular una función de enumeración mediante un algoritmo.

Para evitar distinguir entre un conjunto finito y un conjunto infinito numerable, a menudo resulta útil utilizar otra definición equivalente: Un conjunto S es numerable si y solo si existe una función inyectiva de él a los números naturales.

En teoría de conjuntos , existe una noción más general de enumeración que la caracterización que requiere que el dominio de la función de enumeración sea un segmento inicial de los números naturales, donde el dominio de la función enumeradora puede asumir cualquier ordinal . Según esta definición, una enumeración de un conjunto S es cualquier sobreyección de un ordinal α sobre S. La versión más restrictiva de enumeración mencionada anteriormente es el caso especial en el que α es un ordinal finito o el primer ordinal límite ω . Esta versión más generalizada extiende la definición anterior para abarcar las enumeraciones transfinitas .

Según esta definición, el primer ordinal no contable${\displaystyle \omega _{1}}$se puede enumerar mediante la función identidad en${\displaystyle \omega _{1}}$de modo que estas dos nociones no coinciden. En términos más generales, es un teorema de ZF que cualquier conjunto bien ordenado puede enumerarse bajo esta caracterización de manera que coincida, salvo por un cambio de etiquetas, con la enumeración de listado generalizada. Si además se asume el Axioma de Elección , entonces todos los conjuntos pueden enumerarse de manera que coincidan, salvo por un cambio de etiquetas, con la forma más general de enumeraciones.

Dado que los teóricos de conjuntos trabajan con conjuntos infinitos de cardinalidades arbitrariamente grandes , la definición habitual entre este grupo de matemáticos para una enumeración de un conjunto tiende a ser cualquier secuencia α arbitraria que enumere exactamente todos sus elementos. De hecho, en el libro de Jech, una referencia común para los teóricos de conjuntos, una enumeración se define precisamente de esta manera. Por lo tanto, para evitar ambigüedades, se puede usar el término finitamente enumerable o denumerable para denotar uno de los tipos correspondientes de enumeraciones numerables distinguidas.

Formalmente, la definición más inclusiva de enumeración de un conjunto S es cualquier sobreyección de un conjunto de índices arbitrario I sobre S. En este contexto amplio, todo conjunto S puede enumerarse trivialmente mediante la función identidad de S sobre sí mismo. Si no se asume el axioma de elección o alguna de sus variantes, S no tiene por qué tener un buen orden . Incluso si se asume el axioma de elección, S no tiene por qué tener un buen orden natural.

Esta definición general se presta, por lo tanto, a una noción de conteo donde nos interesa "cuántos" en lugar de "en qué orden". En la práctica, este significado amplio de enumeración se usa a menudo para comparar tamaños relativos o cardinalidades de diferentes conjuntos. Si se trabaja en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección, se puede imponer la restricción adicional de que una enumeración también debe ser inyectiva (sin repetición) , ya que en esta teoría, la existencia de una sobreyección de I sobre S no implica necesariamente la existencia de una inyección de S en I.