Evolucionar

En la geometría diferencial de curvas , la evoluta de una curva es el lugar geométrico de todos sus centros de curvatura . Es decir, cuando se traza el centro de curvatura de cada punto de una curva, la figura resultante será la evoluta de esa curva. Por lo tanto, la evoluta de un círculo es un único punto en su centro. ^{[ 1 ]} De forma equivalente, una evoluta es la envolvente de las normales a una curva.

La evoluta de una curva, una superficie o, más generalmente, una subvariedad , es la cáustica de la aplicación normal. Sea M una subvariedad regular y suave en R ⁿ . Para cada punto p en M y cada vector v , con base en p y normal a M , asociamos el punto p + v . Esto define una aplicación lagrangiana , llamada aplicación normal. La cáustica de la aplicación normal es la evoluta de M . ^{[ 2 ]}

Las evolutas están estrechamente relacionadas con las involutas : una curva es la evoluta de cualquiera de sus involutas.

Apolonio ( c. 200  a. C.) trató sobre las evolutas en el Libro V de sus Cónicas . Sin embargo, a veces se le atribuye a Huygens el haber sido el primero en estudiarlas (1673). Huygens formuló su teoría de las evolutas alrededor de 1659 para ayudar a resolver el problema de hallar la curva tautocrónica , lo que a su vez le ayudó a construir un péndulo isócrono. Esto se debía a que la curva tautocrónica es una cicloide , y la cicloide tiene la propiedad única de que su evoluta también es una cicloide. De hecho, la teoría de las evolutas permitió a Huygens obtener muchos resultados que posteriormente se hallarían mediante el cálculo. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$es la representación paramétrica de una curva regular en el plano con su curvatura en ningún punto 0 y${\displaystyle \rho (t)}$su radio de curvatura y${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$la normal de la unidad apunta al centro de curvatura, entonces $${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$$ describe la evoluta de la curva dada.

Para${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$y${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$uno consigue $${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$y $${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

Para una curva${\displaystyle \Gamma }$expresado implícitamente en la forma${\displaystyle f(x,y)=0}$La evoluta se puede determinar mediante un sistema de ecuaciones que relaciona la curva original con sus líneas normales. En cada punto de la curva${\displaystyle \Gamma }$La dirección del vector normal viene dada por:

$${\displaystyle \left(-{\frac {f_{y}}{f_{x}}},\,{\frac {xf_{y}-yf_{x}}{f_{x}}}\right)}$$

dónde${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$y${\displaystyle f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}}$Estos componentes describen la dirección del vector normal en cada punto de la curva.

La evoluta se puede obtener resolviendo el siguiente sistema (véase ^{[ 4 ]} para más detalles):

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(x,y),\\u&=-{\frac {f_{y}}{f_{x}}},\\v&={\frac {xf_{y}-yf_{x}}{f_{x}}},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$representan los componentes del vector normal. Eliminando las variables${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$de este sistema se obtiene una única ecuación algebraica en términos de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$, que define la evoluta de la curva.

Para derivar las propiedades de una curva regular, es ventajoso utilizar la longitud del arco.${\displaystyle s}$de la curva dada como su parámetro, debido a${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$y${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$(ver fórmulas de Frenet-Serret ). Por lo tanto, el vector tangente de la evoluta${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$es: $${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$ De esta ecuación se obtienen las siguientes propiedades de la evoluta:

• En puntos con${\displaystyle \rho '=0}$La evoluta no es regular . Esto significa que, en los puntos de máxima o mínima curvatura ( vértices de la curva dada), la evoluta presenta cúspides . (Véanse los diagramas de las evolutas de la parábola, la elipse, la cicloide y la nefroide).
• Para cualquier arco de la evoluta que no incluya una cúspide, la longitud del arco es igual a la diferencia entre los radios de curvatura en sus extremos. Este hecho conduce a una demostración sencilla del teorema de Tait-Kneser sobre el anidamiento de círculos osculadores . ^{[ 5 ]}
• Las normales de la curva dada en los puntos de curvatura distinta de cero son tangentes a la evoluta, y las normales de la curva en los puntos de curvatura cero son asíntotas de la evoluta. Por lo tanto, la evoluta es la envolvente de las normales de la curva dada.
• En secciones de la curva con${\displaystyle \rho '>0}$o${\displaystyle \rho '<0}$La curva es una involuta de su evoluta. (En el diagrama: la parábola azul es una involuta de la parábola semicúbica roja, que a su vez es la evoluta de la parábola azul).

Prueba de la última propiedad: Sea${\displaystyle \rho '>0}$en la sección de consideración. Una involuta de la evoluta se puede describir de la siguiente manera: $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$ dónde${\displaystyle l_{0}}$es una extensión de cadena fija (véase Involuta de una curva parametrizada ). Con${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$y${\displaystyle \rho '>0}$uno consigue $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$ Eso significa: Para la extensión de cadena${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$Se reproduce la curva dada.

• Las curvas paralelas tienen la misma evoluta.

Prueba: Una curva paralela con distancia${\displaystyle d}$La curva dada tiene la representación paramétrica${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$y el radio de curvatura${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$(véase curva paralela ). Por lo tanto, la evoluta de la curva paralela es$${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$$

La evolución

• de una parábola es una parábola semicúbica (ver arriba),
• de una elipse es un astroide no simétrico (ver arriba),
• de una línea es un punto ideal ,
• de un nefroide es un nefroide (la mitad de grande, ver diagrama),
• de un asteroide es un asteroide (el doble de grande),
• de un cardioide es un cardioide (un tercio de grande),
• de un círculo es su centro,
• de un deltoides es un deltoides (tres veces más grande),
• de una cicloide es una cicloide congruente,
• de una espiral logarítmica es la misma espiral logarítmica,
• de un tracto es una catenaria.

Una curva con una definición similar es el radial de una curva dada. Para cada punto de la curva, se toma el vector desde el punto hasta el centro de curvatura y se traslada de modo que comience en el origen. Entonces, el lugar geométrico de los puntos en los extremos de dichos vectores se llama radial de la curva. La ecuación para el radial se obtiene eliminando los términos x e y de la ecuación de la evoluta. Esto produce $${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

• Weisstein, Eric W. "Evolutar" . MundoMatemático .
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Evoluta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Yates, RC: Manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Evolutas". págs.  86 y siguientes .
• Evoluta en curvas 2D.
• Piene, Ragni, Riener, Cordian, Shapiro, Boris. "El regreso de la evolución del plano" , Annales de l'Institut Fourier*, 75(4), 2025.