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Fractal

Alfombra de Sierpiński : perímetro infinito y área cero. Área altamente ampliada en el límite del conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot : su límite es una curva frac...

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Alfombra de Sierpiński : perímetro infinito y área cero.
Área altamente ampliada en el límite del conjunto de Mandelbrot.
El conjunto de Mandelbrot : su límite es una curva fractal con dimensión de Hausdorff 2. (Tenga en cuenta que las secciones coloreadas de la imagen no forman parte del conjunto de Mandelbrot, sino que se basan en la rapidez con la que diverge la función que lo produce).
Conjunto de Mandelbrot con 12 círculos

Acercando la imagen al límite del conjunto de Mandelbrot

En matemáticas , un fractal es una forma geométrica que contiene una estructura detallada a escalas arbitrariamente pequeñas, generalmente con una dimensión fractal que excede estrictamente la dimensión topológica . Muchos fractales parecen similares a varias escalas, como se ilustra en las sucesivas magnificaciones del conjunto de Mandelbrot . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Esta exhibición de patrones similares a escalas cada vez más pequeñas se llama autosimilitud , también conocida como simetría de expansión o simetría de despliegue; si esta replicación es exactamente la misma en cada escala, como en la esponja de Menger , la forma se llama autosimilar afín. [ 5 ] La geometría fractal se relaciona con la rama matemática de la teoría de la medida por su dimensión de Hausdorff .

Una forma en que los fractales se diferencian de otras figuras geométricas es en cómo escalan . Duplicar la longitud de los lados de un polígono relleno multiplica su área por cuatro, que es dos (la razón entre la longitud del lado nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de dos (la dimensión convencional del polígono relleno). De manera similar, si se duplica el radio de una esfera (o bola ) rellena, su volumen escala por ocho, que es dos (la razón entre el radio nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de tres (la dimensión convencional de la esfera rellena). Sin embargo, si se duplican todas las longitudes unidimensionales de un fractal, el contenido espacial del fractal escala por una potencia que no es necesariamente un número entero y que, en general, es mayor que su dimensión convencional. [ 1 ] Esta potencia se denomina dimensión fractal del objeto geométrico, para distinguirla de la dimensión convencional (que formalmente se denomina dimensión topológica ). [ 6 ]

Analíticamente, muchos fractales no son diferenciables en ningún punto . [ 1 ] [ 4 ] Una curva fractal infinita puede concebirse como un serpenteante en el espacio de manera diferente a una línea ordinaria; aunque topológicamente sigue siendo unidimensional , su dimensión fractal indica que ocupa el espacio localmente de manera más eficiente que una línea ordinaria. [ 1 ] [ 6 ]

Alfombra de Sierpinski (hasta el nivel 6), un fractal con una dimensión topológica de 1 y una dimensión de Hausdorff de 1,893.
Un segmento de línea es similar a una parte propia de sí mismo, pero difícilmente un fractal.

A partir del siglo XVII, con las nociones de recursión , los fractales evolucionaron a través de un tratamiento matemático cada vez más riguroso hasta el estudio de funciones continuas pero no diferenciables en el siglo XIX, gracias a la obra fundamental de Bernard Bolzano , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , [ 7 ] y posteriormente hasta la acuñación del término fractal en el siglo XX, con un consiguiente auge del interés por los fractales y el modelado computacional en ese mismo siglo. [ 8 ] [ 9 ]

Existe cierta discrepancia entre los matemáticos sobre cómo definir formalmente el concepto de fractal. El propio Mandelbrot lo resumió como «hermoso, tremendamente difícil, cada vez más útil. Eso son los fractales». [ 10 ] De manera más formal, en 1982 Mandelbrot definió fractal de la siguiente manera: «Un fractal es, por definición, un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica ». [ 11 ] Posteriormente, al considerar esta definición demasiado restrictiva, la simplificó y amplió a la siguiente: «Un fractal es una forma geométrica irregular o fragmentada que puede dividirse en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo». [ 1 ] Más tarde, Mandelbrot propuso «utilizar fractal sin una definición pedante, utilizar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes». [ 12 ]

El consenso entre los matemáticos es que los fractales teóricos son construcciones matemáticas iteradas y detalladas infinitamente autosimilares , de las cuales se han formulado y estudiado muchos ejemplos . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Los fractales no se limitan a patrones geométricos, sino que también pueden describir procesos en el tiempo. [ 5 ] [ 4 ] [ 13 ] Se han representado o estudiado patrones fractales con diversos grados de autosimilitud en medios visuales, físicos y auditivos [ 14 ] y se han encontrado en la naturaleza , [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] la tecnología , [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] el arte , [ 23 ] [ 24 ] y la arquitectura . [ 25 ] Los fractales son de particular relevancia en el campo de la teoría del caos porque aparecen en las representaciones geométricas de la mayoría de los procesos caóticos (típicamente como atractores o como límites entre cuencas de atracción). [ 26 ]

Etimología

El término «fractal» fue acuñado por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. [ 27 ] Mandelbrot lo basó en el latín frāctus , que significa «roto» o «fracturado», y lo utilizó para extender el concepto de dimensiones fraccionarias teóricas a patrones geométricos en la naturaleza . [ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]

Introducción

Un árbol fractal simple
Un "árbol" fractal de once iteraciones

El término «fractal» suele tener connotaciones diferentes para los matemáticos y el público en general, ya que este último tiende a estar más familiarizado con el arte fractal que con el concepto matemático. Este último es difícil de definir formalmente, incluso para los matemáticos, pero sus características clave pueden comprenderse con algunos conocimientos matemáticos básicos.

La característica de la "autosimilitud", por ejemplo, se entiende fácilmente por analogía con el acercamiento de una lente u otro dispositivo a imágenes digitales para descubrir estructuras nuevas, más finas y previamente invisibles. Sin embargo, si esto se aplica a fractales, no aparece ningún detalle nuevo; nada cambia y el mismo patrón se repite una y otra vez, o en algunos fractales, casi el mismo patrón reaparece repetidamente. La autosimilitud en sí misma no es necesariamente contraintuitiva (por ejemplo, se ha reflexionado sobre ella informalmente, como en la regresión infinita en espejos paralelos o el homúnculo , el hombrecito dentro de la cabeza del hombrecito dentro de la cabeza...). La diferencia en el caso de los fractales es que el patrón reproducido debe ser detallado. [ 1 ] : 166, 18 [ 2 ] [ 28 ]

Esta idea de ser detallado se relaciona con otra característica que se puede comprender sin muchos conocimientos matemáticos: tener una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica, por ejemplo, se refiere a cómo se escala un fractal en comparación con cómo se perciben habitualmente las formas geométricas . Una línea recta, por ejemplo, se entiende convencionalmente como unidimensional; si dicha figura se repite en piezas cada una de 1/3 de la longitud de la original, entonces siempre hay tres piezas iguales. Un cuadrado sólido se entiende como bidimensional; si dicha figura se repite en piezas cada una escalada por un factor de 1/3 en ambas dimensiones, hay un total de 3² = 9 piezas.

Observamos que, para objetos autosimilares ordinarios, ser n-dimensional significa que, al dividirlo en piezas, cada una reducida por un factor de escala de 1/ r , se obtienen un total de r n piezas. Ahora bien, consideremos la curva de Koch . Se puede dividir en cuatro subcopias, cada una reducida por un factor de escala de 1/3. Por analogía, podemos considerar la "dimensión" de la curva de Koch como el único número real D que satisface 3 D = 4. Este número se denomina dimensión fractal de la curva de Koch; no es la dimensión convencionalmente percibida de una curva. En general, una propiedad clave de los fractales es que la dimensión fractal difiere de la dimensión convencionalmente entendida (formalmente llamada dimensión topológica).

Fractal 3D generado por computadora

Esto también lleva a comprender una tercera característica: que los fractales, como ecuaciones matemáticas, son "no diferenciables en ningún punto ". En concreto, esto significa que los fractales no se pueden medir de forma tradicional. [ 1 ] [ 4 ] [ 30 ] Para ser más precisos, al intentar hallar la longitud de una curva ondulada no fractal, se podrían encontrar segmentos rectos de alguna herramienta de medición lo suficientemente pequeños como para colocarlos uno tras otro sobre las ondas, de modo que las piezas se redujeran lo suficiente como para considerarse que se ajustan a la curva de la forma habitual de medir con una cinta métrica. Pero al medir una curva fractal infinitamente "ondulada", como el copo de nieve de Koch, nunca se encontraría un segmento recto lo suficientemente pequeño como para ajustarse a la curva, porque el patrón irregular reaparecería siempre, a escalas arbitrariamente pequeñas, arrastrando esencialmente un poco más de la cinta métrica a la longitud total medida cada vez que se intentara ajustarla más y más a la curva. El resultado es que se necesitaría una cinta infinita para cubrir perfectamente toda la curva, es decir, el copo de nieve tiene un perímetro infinito. [ 1 ]

Historia

Un copo de nieve de Koch es un fractal que comienza con un triángulo equilátero y luego reemplaza el tercio central de cada segmento de línea con un par de segmentos de línea que forman una protuberancia equilátera.
Conjunto de Cantor (ternario)

La historia de los fractales traza un camino desde estudios principalmente teóricos hasta aplicaciones modernas en gráficos por computadora , con varias personas notables que contribuyeron con formas fractales canónicas a lo largo del camino. [ 8 ] [ 9 ] Un tema común en la arquitectura tradicional africana es el uso de la escala fractal, por la cual las partes pequeñas de la estructura tienden a parecerse a las partes más grandes, como una aldea circular hecha de casas circulares. [ 31 ] Según Pickover , las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII cuando el matemático y filósofo Gottfried Leibniz reflexionó sobre la autosimilitud recursiva (aunque cometió el error de pensar que solo la línea recta era autosimilar en este sentido). [ 32 ]

En sus escritos, Leibniz utilizó el término "exponentes fraccionarios", pero lamentó que la "Geometría" aún no los conociera. [ 1 ] : 405 De hecho, según varios relatos históricos, después de ese momento pocos matemáticos abordaron los problemas y el trabajo de quienes lo hicieron permaneció oscurecido en gran medida debido a la resistencia a conceptos emergentes tan desconocidos, que a veces se denominaban "monstruos" matemáticos. [ 30 ] [ 8 ] [ 9 ] Así, no fue hasta pasados ​​dos siglos que el 18 de julio de 1872 Karl Weierstrass presentó la primera definición de una función con una gráfica que hoy se consideraría un fractal, que tiene la propiedad no intuitiva de ser continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte en la Real Academia Prusiana de Ciencias. [ 8 ] : 7 [ 9 ]

Además, la diferencia del cociente se vuelve arbitrariamente grande a medida que aumenta el índice de suma. [ 33 ] Poco después, en 1883, Georg Cantor , quien asistió a las conferencias de Weierstrass, [ 9 ] publicó ejemplos de subconjuntos de la recta real conocidos como conjuntos de Cantor , que tenían propiedades inusuales y ahora se reconocen como fractales. [ 8 ] : 11–24 También en la última parte de ese siglo, Felix Klein y Henri Poincaré introdujeron una categoría de fractales que ha llegado a denominarse fractales "autoinversos". [ 1 ] : 166

El conjunto de Julia del mapa de Mandelbrot con parámetro -0.16-0.65i, que es un fractal
Un triángulo de Sierpinski puede generarse mediante un árbol fractal.

Uno de los siguientes hitos se produjo en 1904, cuando Helge von Koch , extendiendo las ideas de Poincaré e insatisfecho con la definición abstracta y analítica de Weierstrass, dio una definición más geométrica que incluía imágenes dibujadas a mano de una función similar, que ahora se llama el copo de nieve de Koch . [ 8 ] : 25 [ 9 ] Otro hito se produjo una década después, en 1915, cuando Wacław Sierpiński construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra . Para 1918, dos matemáticos franceses, Pierre Fatou y Gaston Julia , aunque trabajando de forma independiente, llegaron prácticamente de forma simultánea a resultados que describían lo que ahora se considera un comportamiento fractal asociado con el mapeo de números complejos y funciones iterativas, y que condujeron a nuevas ideas sobre atractores y repelentes (es decir, puntos que atraen o repelen otros puntos), que se han vuelto muy importantes en el estudio de los fractales. [ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]

Poco después de la presentación de dicho trabajo, en marzo de 1918, Felix Hausdorff amplió la definición de "dimensión", lo cual fue fundamental para la evolución de la definición de fractales, al permitir que los conjuntos tuvieran dimensiones no enteras. [ 9 ] La idea de curvas autosimilares fue desarrollada aún más por Paul Lévy , quien, en su artículo de 1938, Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole , describió una nueva curva fractal, la curva C de Lévy . [ notas 1 ]

Un atractor extraño que exhibe escalamiento multifractal.
Fractal triangular del centro de masa uniforme
2 x 120 grados IFS recursivo

Diferentes investigadores han postulado que sin la ayuda de los gráficos por computadora modernos, los primeros investigadores estaban limitados a lo que podían representar en dibujos manuales, por lo que carecían de los medios para visualizar la belleza y apreciar algunas de las implicaciones de muchos de los patrones que habían descubierto (el conjunto de Julia, por ejemplo, solo podía visualizarse a través de unas pocas iteraciones como dibujos muy simples). [ 1 ] : 179 [ 30 ] [ 9 ] Sin embargo, eso cambió en la década de 1960, cuando Benoit Mandelbrot comenzó a escribir sobre la autosimilitud en artículos como How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension , [ 34 ] [ 35 ] que se basaron en trabajos anteriores de Lewis Fry Richardson .

En 1975, [ 28 ] Mandelbrot consolidó cientos de años de pensamiento y desarrollo matemático al acuñar la palabra "fractal" e ilustró su definición matemática con impactantes visualizaciones construidas por computadora. Estas imágenes, como la de su conjunto canónico de Mandelbrot , capturaron la imaginación popular; muchas de ellas se basaban en la recursión, lo que llevó al significado popular del término "fractal". [ 36 ] [ 30 ] [ 8 ] [ 32 ]

En 1980, Loren Carpenter hizo una presentación en SIGGRAPH donde presentó su software para generar y renderizar paisajes generados fractalmente. [ 37 ]

Definición y características

Una descripción frecuentemente citada que Mandelbrot publicó para describir los fractales geométricos es "una forma geométrica tosca o fragmentada que puede dividirse en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo"; [ 1 ] esto es generalmente útil pero limitado. Los autores discrepan sobre la definición exacta de fractal , pero la mayoría suele profundizar en las ideas básicas de autosimilitud y la relación inusual que los fractales tienen con el espacio en el que están incrustados. [ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 38 ]

Un punto en el que se coincide es que los patrones fractales se caracterizan por dimensiones fractales , pero si bien estos números cuantifican la complejidad (es decir, el cambio de detalle con el cambio de escala), no describen ni especifican de forma única los detalles de cómo construir patrones fractales particulares. [ 39 ] En 1975, cuando Mandelbrot acuñó la palabra "fractal", lo hizo para denotar un objeto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica . [ 28 ] Sin embargo, este requisito no se cumple para curvas que llenan el espacio, como la curva de Hilbert . [ nota 2 ]

Debido a la dificultad de encontrar una definición para los fractales, algunos argumentan que no deberían definirse estrictamente en absoluto. Según Falconer , los fractales deberían caracterizarse generalmente solo por una gestalt de las siguientes características; [ 2 ]

  • Autosimilitud, que puede incluir:
  • Estructura fina o detallada a escalas arbitrariamente pequeñas. Una consecuencia de esta estructura es que los fractales pueden tener propiedades emergentes [ 40 ] (relacionadas con el siguiente criterio de esta lista).
  • Irregularidad local y global que no puede describirse fácilmente en el lenguaje de la geometría euclidiana tradicional , salvo como el límite de una secuencia de etapas definida recursivamente . Para imágenes de patrones fractales, esto se ha expresado con frases como «superficies que se apilan suavemente» y «remolinos sobre remolinos»; [ 6 ] véase Técnicas comunes para generar fractales .

En conjunto, estos criterios constituyen directrices para excluir ciertos casos, como aquellos que pueden ser autosimilares sin presentar otras características típicamente fractales. Una línea recta, por ejemplo, es autosimilar pero no fractal porque carece de detalles y se describe fácilmente en lenguaje euclidiano sin necesidad de recursión. [ 1 ] [ 4 ]

Cuando Mandelbrot introdujo el término fractal, excluyó el rango de magnificación como característica definitoria para dar cabida a los fractales físicos con rangos más limitados que sus contrapartes matemáticas. [ 41 ]

Técnicas comunes para generar fractales

Patrón de ramificación autosimilar modelado in silico utilizando principios de sistemas L [ 18 ]

Las imágenes de fractales se pueden crear mediante programas generadores de fractales . Debido al efecto mariposa , un pequeño cambio en una sola variable puede tener un resultado impredecible .

Un fractal generado por una regla de subdivisión finita para un enlace alterno

Aplicaciones

Fractales simulados

Arte fractal creado a partir de un conjunto de Julia.

Los patrones fractales se han modelado extensamente, aunque dentro de un rango de escalas en lugar de infinitas, debido a las limitaciones prácticas del tiempo y el espacio físicos. Los modelos pueden simular fractales teóricos o fenómenos naturales con características fractales . Los resultados del proceso de modelado pueden ser representaciones altamente artísticas, resultados para la investigación o puntos de referencia para el análisis fractal . Algunas aplicaciones específicas de los fractales a la tecnología se enumeran en otra parte . Las imágenes y otros resultados del modelado se denominan normalmente "fractales" incluso si no tienen características estrictamente fractales, como cuando es posible ampliar una región de la imagen fractal que no muestra ninguna propiedad fractal. Además, estos pueden incluir artefactos de cálculo o visualización que no son característicos de los fractales verdaderos.

Los fractales modelados pueden ser sonidos, [ 14 ] imágenes digitales, patrones electroquímicos, ritmos circadianos , [ 47 ] etc. Los patrones fractales se han reconstruido en el espacio físico tridimensional [ 21 ] : 10 y virtualmente, a menudo llamado modelado " in silico ". [ 44 ] Los modelos de fractales generalmente se crean utilizando software generador de fractales que implementa técnicas como las descritas anteriormente. [ 4 ] [ 13 ] [ 21 ] Como ejemplo, los árboles, los helechos, las células del sistema nervioso, [ 18 ] la vasculatura sanguínea y pulmonar, [ 44 ] y otros patrones ramificados en la naturaleza se pueden modelar en una computadora utilizando algoritmos recursivos y técnicas de sistemas L. [ 18 ]

La naturaleza recursiva de algunos patrones resulta evidente en ciertos ejemplos: una rama de un árbol o una fronda de un helecho son réplicas en miniatura del conjunto: no idénticas, pero sí similares. De manera similar, los fractales aleatorios se han utilizado para describir o crear numerosos objetos del mundo real altamente irregulares, como costas y montañas. Una limitación del modelado fractal reside en que la semejanza de un modelo fractal con un fenómeno natural no demuestra que dicho fenómeno se forme mediante un proceso similar al de los algoritmos de modelado.

Fenómenos naturales con características fractales

Los fractales aproximados que se encuentran en la naturaleza muestran autosimilitud en rangos de escala extensos, pero finitos. La conexión entre los fractales y las hojas, por ejemplo, se está utilizando actualmente para determinar la cantidad de carbono que contienen los árboles. [ 48 ] Entre los fenómenos que se sabe que tienen características fractales se incluyen:

Fractales en biología celular

Los fractales suelen aparecer en el ámbito de los organismos vivos, donde surgen a través de procesos de ramificación y otras formas de formación de patrones complejos. Richard Taylor y colaboradores han demostrado que las ramificaciones dendríticas de las neuronas forman patrones fractales. [ 73 ] Ian Wong y colaboradores han demostrado que las células migratorias pueden formar fractales mediante agrupamiento y ramificación . [ 74 ] Las células nerviosas funcionan a través de procesos en la superficie celular, fenómenos que se potencian al aumentar considerablemente la relación superficie-volumen. En consecuencia, a menudo se observa que las células nerviosas forman patrones fractales. [ 75 ] Estos procesos son cruciales en la fisiología celular y en diversas patologías . [ 76 ]

También se ha observado que múltiples estructuras subcelulares se ensamblan en fractales. Diego Krapf demostró que, mediante procesos de ramificación, los filamentos de actina en las células humanas se ensamblan en patrones fractales. [ 77 ] De manera similar, Matthias Weiss demostró que el retículo endoplasmático presenta características fractales. [ 78 ] Actualmente, se entiende que los fractales son omnipresentes en la biología celular, desde las proteínas hasta los orgánulos y las células enteras.

En obras creativas

El expresionismo fractal se utiliza para distinguir el arte fractal generado directamente por artistas del arte fractal generado mediante matemáticas y/o computadoras. [ 79 ]

Desde 1999, numerosos grupos científicos han realizado análisis fractales en más de 50 pinturas creadas por Jackson Pollock vertiendo pintura directamente sobre lienzos horizontales, véase, por ejemplo, [ 80 ] [ 81 ] [ 82 ] [ 83 ] [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ] [ 89 ] [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ] En 2015, se utilizó el análisis fractal para lograr una tasa de éxito del 93 % en la distinción de Pollocks reales de imitaciones. [ 93 ] Un estudio de 2024 utilizó una técnica de inteligencia artificial basada en fractales para lograr una tasa de éxito del 99 % . [ 94 ]

La Decalcomanía , una técnica utilizada por artistas como Max Ernst , puede producir patrones similares a fractales. [ 95 ] Consiste en presionar pintura entre dos superficies y separarlas.

El cibernético Ron Eglash ha sugerido que la geometría fractal y las matemáticas prevalecen en el arte , los juegos, la adivinación , el comercio y la arquitectura africanos . Las casas circulares aparecen en círculos de círculos, las casas rectangulares en rectángulos de rectángulos, y así sucesivamente. Estos patrones de escala también se pueden encontrar en textiles africanos, esculturas e incluso peinados de trenzas africanas. [ 24 ] [ 96 ] Hokky Situngkir también sugirió propiedades similares en el arte tradicional indonesio, el batik y los ornamentos que se encuentran en las casas tradicionales. [ 97 ] [ 98 ]

El etnomatemático Ron Eglash ha analizado el trazado planificado de la ciudad de Benín utilizando fractales como base, no solo en la ciudad misma y las aldeas, sino incluso en las habitaciones de las casas. Comentó que «Cuando los europeos llegaron por primera vez a África, consideraron la arquitectura muy desorganizada y, por lo tanto, primitiva. Nunca se les ocurrió que los africanos pudieran haber estado utilizando una forma de matemáticas que aún no habían descubierto». [ 99 ]

En una entrevista de 1996 con Michael Silverblatt , David Foster Wallace explicó que la estructura del primer borrador de Infinite Jest que le entregó a su editor Michael Pietsch estaba inspirada en los fractales, específicamente en el triángulo de Sierpinski (también conocido como junta de Sierpinski), pero que la novela editada es "más bien una junta de Sierpinski asimétrica". [ 23 ]

Algunas obras del artista holandés MC Escher , como Circle Limit III , contienen formas que se repiten hasta el infinito y que se van haciendo cada vez más pequeñas a medida que se acercan a los bordes, en un patrón que siempre se vería igual si se ampliara la imagen.

Los fractales biofílicos son patrones diseñados para inducir los beneficios para la salud y el bienestar asociados con la exposición a la naturaleza. [ 100 ] Estos incluyen la reducción del estrés y una mayor capacidad cognitiva. Diseñadores y arquitectos incorporan fractales biofílicos en el entorno construido para contrarrestar el hecho de que las personas pasan el 92% de su tiempo en interiores y lejos de la naturaleza.

La Capilla Fractal del Hospital Universitario de Graz, Austria, diseñada por INNOCAD Architecture, es un ejemplo destacado y ha recibido tanto el premio IIDA (Asociación Internacional de Diseño de Interiores) al Mejor Proyecto de la Competencia 2025 como el premio al Mejor Interior del Año 2025 en el Festival Mundial de Arquitectura (WAF).

Respuestas fisiológicas: Fluidez fractal

La fluidez fractal es un modelo neurocientífico que propone que, mediante la exposición a los paisajes fractales de la naturaleza, los sistemas visuales de las personas se han adaptado para procesar fractales con facilidad y eficiencia. Esta adaptación ocurre en muchas etapas del sistema visual, desde la forma en que se mueven los ojos hasta las regiones del cerebro que se activan. [ 101 ] La fluidez coloca al espectador en una "zona de confort", induciendo así una experiencia estética. Experimentos neurocientíficos han demostrado que las pinturas fractales de Jackson Pollock inducen las mismas respuestas fisiológicas positivas en el observador que los fractales de la naturaleza y los fractales matemáticos. [ 102 ] Esto demuestra que el expresionismo fractal está relacionado con la fluidez fractal, proporcionando motivación a artistas, como Pollock, para utilizar el expresionismo fractal en su arte y así conectar con el público.

Los humanos parecen estar especialmente bien adaptados para procesar patrones fractales con una dimensión fractal entre 1,3 y 1,5. [ 103 ] Cuando los humanos observan patrones fractales con dimensiones fractales en este rango, estos fractales reducen el estrés fisiológico y potencian las capacidades cognitivas. [ 104 ]

Aplicaciones en tecnología

Véase también

Notas

  1. ^ El artículo original, Lévy, Paul (1938). "Les Courbes planos ou gauches et les superficies compuestas de partes semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique : 227– 247, 249– 291., se traduce en Edgar , páginas 181–239.
  2. ↑ La aplicación de la curva de Hilbert no es un homeomorfismo , por lo que no conserva la dimensión topológica. La dimensión topológica y la dimensión de Hausdorff de la imagen de la aplicación de Hilbert en R² son ambas 2. Sin embargo, cabe señalar que la dimensión topológica del grafo de la aplicación de Hilbert (un conjunto en R³ ) es 1.

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Mandelbrot, Benoît B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. 1 2 3 4 5 Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal: Fundamentos matemáticos y aplicaciones . John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. 1 2 Briggs, John (1992). Fractales: Los patrones del caos . Londres: Thames and Hudson. pág. 148. ISBN  978-0-500-27693-8.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vicsek, Tamás (1992). Fenómenos de crecimiento fractal . Singapur/Nueva Jersey: World Scientific. págs.31 , 139-146 . ISBN  978-981-02-0668-0.
  5. 1 2 3 Gouyet, Jean-François (1996). Física y estructuras fractales . París/Nueva York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. ^ Mandelbrot , Benoît B. (2004) . Fractales y Caos . Berlín: Springer. pag. 38.ISBN​  978-0-387-20158-0Un conjunto fractal es aquel para el cual la dimensión fractal (Hausdorff-Besicovitch) excede estrictamente la dimensión topológica .
  7. ↑ Segal, SL (junio de 1978). "Continuación del ejemplo de Riemann de una función 'no diferenciable' continua". The Mathematical Intelligencer . 1 (2): 81– 82. doi : 10.1007/BF03023065 . S2CID 120037858 . 
  8. 1 2 3 4 5 6 7 8 Edgar, Gerald (2004). Clásicos sobre fractales . Boulder, CO: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Trochet, Holly (2009). "Una historia de la geometría fractal" . MacTutor History of Mathematics . Archivado del original el 12 de marzo de 2012.
  10. ↑ Mandelbrot, Benoit (8 de julio de 2013). "Conferencia 24/7 sobre fractales" . Premios Ig Nobel 2006. Investigación improbable. Archivado del original el 11 de diciembre de 2021.
  11. ↑ Mandelbrot, BB: La geometría fractal de la naturaleza. WH Freeman and Company, Nueva York (1982); pág. 15.
  12. ↑ Edgar, Gerald (2007). Medida, topología y geometría fractal . Springer Science & Business Media. pág. 7. ISBN  978-0-387-74749-1.
  13. 1 2 3 Peters, Edgar (1996). Caos y orden en los mercados de capitales: una nueva perspectiva de los ciclos, los precios y la volatilidad del mercado . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6.
  14. 1 2 Brothers, Harlan J. (2007). "Escalamiento estructural en la Suite para violonchelo n.° 3 de Bach". Fractals . 15 (1): 89– 95. doi : 10.1142/S0218348X0700337X .
  15. 1 2 Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). " Propiedades fractales de la variabilidad del período del corazón humano: implicaciones fisiológicas y metodológicas" . The Journal of Physiology . 587 (15): 3929– 41. doi : 10.1113/jphysiol.2009.169219 . PMC 2746620. PMID 19528254 .  
  16. 1 2 Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). "Dimensión fractal en el cerebelo humano medida mediante resonancia magnética" . Biophysical Journal . 85 (6): 4041– 4046. Bibcode : 2003BpJ....85.4041L . doi : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6 . PMC 1303704. PMID 14645092 .  
  17. 1 2 Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). "Análisis de conteo de cajas de la forma de la microglía en la esquizofrenia, la enfermedad de Alzheimer y el trastorno afectivo". Fractals . 16 (2): 103. doi : 10.1142/S0218348X08003880 .
  18. 1 2 3 4 5 Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). "MicroMod: un enfoque de sistemas L para el modelado neuronal". En Sarker, Ruhul (ed.). Actas del taller: Sexto Taller Conjunto Australia-Japón sobre Sistemas Inteligentes y Evolutivos, University House, ANU . Universidad de Nueva Gales del Sur. ISBN 978-0-7317-0505-4OCLC 224846454. Consultado el 3 de febrero de 2012. Lugar del evento: Canberra, Australia . 
  19. 1 2 Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). "Caracterización multifractal del precio del suelo residencial urbano en el espacio y el tiempo". Geografía Aplicada . 34 : 161–170 . Bibcode : 2012AppGe..34..161H . doi : 10.1016/j.apgeog.2011.10.016 .
  20. 1 2 Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João VB; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). "Detección automatizada de retinopatía proliferativa en la práctica clínica" . Clinical Ophthalmology . 2 (1): 109– 122. doi : 10.2147/OPTH.S1579 . PMC 2698675. PMID 19668394 .  
  21. 1 2 3 4 Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractales en biología y medicina . Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  22. 1 2 3 Vannucchi, Paola ; Leoni, Lorenzo (2007). "Caracterización estructural del despegue de Costa Rica: evidencia de pulsaciones de fluidos inducidas sísmicamente". Earth and Planetary Science Letters . 262 ( 3–4 ): 413. Bibcode : 2007E & PSL.262..413V . doi : 10.1016/j.epsl.2007.07.056 . hdl : 2158/257208 . S2CID 128467785 . 
  23. 1 2 Wallace, David Foster (4 de agosto de 2006). "Bookworm en KCRW" . Kcrw.com. Archivado del original el 11 de noviembre de 2010. Recuperado el 17 de octubre de 2010 .
  24. 1 2 Eglash, Ron (1999). "Fractales africanos: computación moderna y diseño indígena" . New Brunswick: Rutgers University Press. Archivado del original el 3 de enero de 2018. Recuperado el 17 de octubre de 2010 .
  25. 1 2 Ostwald, Michael J., y Vaughan, Josephine (2016) La dimensión fractal de la arquitectura Birhauser, Basilea. doi : 10.1007/978-3-319-32426-5 .
  26. ↑ Baranger, Michael. "Caos, complejidad y entropía: una charla de física para no físicos" (PDF) .
  27. ↑ Benoît Mandelbrot, Objetos fractales , 1975, p. 4
  28. 1 2 3 4 Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (2008). «Benoît Mandelbrot: En sus propias palabras». Personas matemáticas: perfiles y entrevistas . Wellesley, MA: AK Peters. pág. 214. ISBN  978-1-56881-340-0.
  29. ↑ "fractal" . Oxford English Dictionary ( edición en línea). Oxford University Press. (Se requiere suscripción o pertenencia a una institución participante ).
  30. 1 2 3 4 Gordon, Nigel (2000). Introducción a la geometría fractal . Duxford: Icon. pág . 71. ISBN  978-1-84046-123-7.
  31. ↑ Eglash, Ron (1999). African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design . Rutgers University Press. ISBN 978-0-8135-2613-3.
  32. 1 2 Pickover, Clifford A. (2009). El libro de matemáticas: De Pitágoras a la dimensión 57, 250 hitos en la historia de las matemáticas . Sterling. pág. 310. ISBN  978-1-4027-5796-9.
  33. ↑ "Geometría fractal" . www-history.mcs.st-and.ac.uk . Consultado el 11 de abril de 2017 .
  34. ↑ Mandelbrot, B. (1967). "¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?" . Science . 156 (3775): 636– 638. Bibcode : 1967Sci...156..636M . doi : 10.1126/science.156.3775.636 . PMID 17837158 . S2CID 15662830 . Archivado del original el 19 de octubre de 2021 . Recuperado el 31 de octubre de 2020 .  
  35. ↑ Batty, Michael (4 de abril de 1985). "Fractales: geometría entre dimensiones". New Scientist . 105 (1450): 31.
  36. ↑ Russ, John C. (1994). Superficies fractales . Vol. 1. Springer. pág. 1. ISBN   978-0-306-44702-0. Consultado el 5 de febrero de 2011 .
  37. ↑ "Vol Libre, una increíble película de animación por computadora de 1980" . kottke.org . 29 de julio de 2009. Consultado el 12 de febrero de 2023 .
  38. ↑ Edgar, Gerald (2008). Medida, topología y geometría fractal . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 1. ISBN  978-0-387-74748-4.
  39. ↑ Karperien, Audrey (2004). Definición de la morfología microglial: forma, función y dimensión fractal . Universidad Charles Sturt. doi : 10.13140/2.1.2815.9048 .
  40. ↑ Spencer, John; Thomas, Michael SC; McClelland, James L. (2009). Hacia una teoría unificada del desarrollo: reconsideración del conexionismo y la teoría de sistemas dinámicos . Oxford/Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-530059-8.
  41. ↑ BB Mandelbrot, "La geometría fractal de la naturaleza" Nueva York: WH Freeman & Company 1982
  42. ↑ Frame, Angus (3 de agosto de 1998). «Sistemas de funciones iteradas». En Pickover, Clifford A. (ed.). Caos y fractales: un viaje gráfico computacional: recopilación de diez años de investigación avanzada . Elsevier. págs. 349–351 . ISBN  978-0-444-50002-1. Consultado el 4 de febrero de 2012 .
  43. ↑ "Alfombra Haferman" . WolframAlpha . Consultado el 18 de octubre de 2012 .
  44. 1 2 3 4 Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (2005). "Aspectos fractales de la optimización constructiva vascular tridimensional". En Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (eds.). Fractales en biología y medicina . Springer. pp. 55–66 . ISBN  978-3-7643-7172-2.
  45. ↑ JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Reglas de subdivisión finita . Geometría y dinámica conforme, vol. 5 (2001), págs. 153–196.
  46. ↑ Carbone, Alessandra ; Gromov, Mikhael ; Prusinkiewicz, Przemyslaw (2000). Formación de patrones en biología, visión y dinámica . World Scientific. ISBN 978-981-02-3792-9.
  47. ↑ Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). "Dimensión fractal del reloj circadiano de Drosophila". Fractals . 19 (4): 423– 430. doi : 10.1142/S0218348X11005476 .
  48. ↑ "En busca de lo oculto de la dimensión". Nova . PBS. WPMB-Maryland. 28 de octubre de 2008.
  49. ↑ Sadegh, Sanaz (2017). "La membrana plasmática está compartimentalizada por una red de actina cortical autosimilar" . Physical Review X. 7 ( 1) 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX...7a1031S . doi : 10.1103/ PhysRevX.7.011031 . PMC 5500227. PMID 28690919 .  
  50. ↑ Falconer, Kenneth (2013). Fractales, una introducción muy breve . Oxford University Press.
  51. ↑ Lovejoy, Shaun (1982). "Relación área-perímetro para áreas de lluvia y nubes". Science . 216 (4542): 185– 187. Bibcode : 1982Sci...216..185L . doi : 10.1126/science.216.4542.185 . PMID 17736252 . S2CID 32255821 .  
  52. ↑ Boffetta, G.; Celani, A.; Dezzani, D.; Seminara, A. (2008). "¿Qué tan sinuosa es la costa de Gran Bretaña? Invariancia conforme de las costas rocosas" . Geophysical Research Letters . 35 (3) 2007GL033093. arXiv : 0712.3076 . Bibcode : 2008GeoRL..35.3615B . doi : 10.1029/2007GL033093 . ISSN 0094-8276 . 
  53. ↑ Cannon, James W.; Floyd, William J.; Perry, Walter R. (2000). «Crecimiento de cristales, crecimiento celular biológico y geometría» . En Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (eds.). Formación de patrones en biología, visión y dinámica . World Scientific. pp. 65–82 . ISBN  978-981-02-3792-9.
  54. ↑ Singh, Chamkor; Mazza, Marco (2019), "La electrificación en gases granulares conduce a un crecimiento fractal restringido", Scientific Reports , 9 (1), Nature Publishing Group: 9049, arXiv : 1812.06073 , Bibcode : 2019NatSR...9.9049S , doi : 10.1038/s41598-019-45447-x , PMC 6588598 , PMID 31227758  
  55. ↑ Sornette, Didier (2004). Fenómenos críticos en las ciencias naturales: caos, fractales, autoorganización y desorden: conceptos y herramientas . Springer. pp. 128–140 . ISBN  978-3-540-40754-6.
  56. 1 2 Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, JA (1999), "Topología compleja en la dispersión caótica: una observación de laboratorio", Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S , doi : 10.1038/20573 , S2CID 4361904 
  57. ↑ D. Seekell; B. Cael; E. Lindmark; P. Byström (2021). "La relación de escala fractal para las entradas de ríos a lagos" . Geophysical Research Letters . 48 (9) e2021GL093366. Bibcode : 2021GeoRL..4893366S . doi : 10.1029/2021GL093366 . ISSN 0094-8276 . S2CID 235508504 .  
  58. ↑ D. Seekell; ML Pace; LJ Tranvik; C. Verpoorter (2013). "Un enfoque basado en fractales para las distribuciones de tamaño de lagos" (PDF) . Geophysical Research Letters . 40 (3): 517– 521. Bibcode : 2013GeoRL..40..517S . doi : 10.1002/grl.50139 . S2CID 14482711 . 
  59. ↑ BB Cael; DA Seekell (2016). "La distribución del tamaño de los lagos de la Tierra" . Scientific Reports . 6 29633. Bibcode : 2016NatSR...629633C . doi : 10.1038/srep29633 . PMC 4937396. PMID 27388607 .  
  60. ↑ Addison, Paul S. (1997). Fractales y caos: un curso ilustrado . CRC Press. págs. 44–46 . ISBN  978-0-7503-0400-9. Consultado el 5 de febrero de 2011 .
  61. ↑ Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (27 de enero de 2005). "Dimensión fractal de masa y compacidad de las proteínas" . Physical Review E. 71 ( 1) 011912. Bibcode : 2005PhRvE..71a1912E . doi : 10.1103/PhysRevE.71.011912 . PMID 15697635 . 
  62. ^ Sendker, Florida; He aquí, YK; Heimerl, T.; Bohn, S.; Persson, LJ; Mais, C.-N.; Sadowska, W.; Paczia, N.; Nußbaum, E.; Sánchez Olmos, M. del C.; Forchhammer, K.; Schindler, D.; Erb, TJ; Benesch, JLP; Marklund, EG; Bange, G.; Schuller, JM; Hochberg, GKA (2024). "Aparición de geometrías fractales en la evolución de una enzima metabólica" . Naturaleza . 628 (8009): 894– 900. Bibcode : 2024Natur.628..894S . doi : 10.1038/s41586-024-07287-2 . PMC 11041685 . PMID 38600380 .  
  63. ↑ Thomas F. Varley; Robin Carhart-Harris; Leor Roseman; David K. Menon; Emmanuel A. Stamatakis (2020). "Los psicodélicos serotoninérgicos LSD y psilocibina aumentan la dimensión fractal de la actividad cerebral cortical en los dominios espacial y temporal" . NeuroImage . 220 117049. doi : 10.1016/j.neuroimage.2020.117049 . PMID 32619708 . 
  64. ↑ Takeda, T; Ishikawa, A; Ohtomo, K; Kobayashi, Y; Matsuoka, T (febrero de 1992). "Dimensión fractal del árbol dendrítico de la célula de Purkinje cerebelosa durante el desarrollo ontogenético y filogenético". Neurosci Research . 13 (1): 19– 31. doi : 10.1016/0168-0102(92)90031-7 . PMID 1314350. S2CID 4158401 .  
  65. ↑ Takayasu, H. (1990). Fractales en las ciencias físicas . Manchester: Manchester University Press. pág . 36. ISBN  978-0-7190-3434-3.
  66. ↑ Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (1 de abril de 2015). "Los bordes de los anillos de Saturno son fractales" . SpringerPlus . 4, 158 158. doi : 10.1186/s40064-015-0926-6 . PMC 4392038. PMID 25883885 .  
  67. ^ Tarboton, David G; Brás, Rafael L; Rodríguez-Iturbe, Ignacio (1988). "La naturaleza fractal de las redes fluviales". Investigación de recursos hídricos . 24 (8): 1317. Código bibliográfico : 1988WRR....24.1317T . doi : 10.1029/WR024i008p01317 .
  68. ↑ Meyer, Yves; Roques, Sylvie (1993). Avances en el análisis de ondículas y sus aplicaciones: actas de la Conferencia Internacional "Ondículas y Aplicaciones", Toulouse, Francia – junio de 1992. Atlantica Séguier Frontières. p. 25. ISBN  978-2-86332-130-0. Consultado el 5 de febrero de 2011 .
  69. ↑ Ozhovan MI, Dmitriev IE, Batyukhnova OG Estructura fractal de los poros del suelo arcilloso. Energía Atómica, 74, 241–243 (1993).
  70. ↑ Sreenivasan, KR; Meneveau, C. (1986). "Las facetas fractales de la turbulencia". Journal of Fluid Mechanics . 173 : 357–386 . Bibcode : 1986JFM...173..357S . doi : 10.1017/S0022112086001209 . S2CID 55578215 . 
  71. ↑ de Silva, CM; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (2013). "Geometría multiescala y escalamiento de la interfaz turbulenta-no turbulenta en capas límite de alto número de Reynolds". Phys . Rev. Lett . 111 (6039): 192– 196. Bibcode : 2011Sci...333..192A . doi : 10.1126/science.1203223 . PMID 21737736. S2CID 22560587 .  
  72. ↑ Mandelbrot, Benoit B (1978). "La geometría fractal de los árboles y otros fenómenos naturales". Probabilidad geométrica y estructuras biológicas: 200 aniversario de Buffon: Actas del Simposio del Bicentenario de Buffon sobre probabilidad geométrica, análisis de imágenes, estereología matemática y su relevancia para la determinación de estructuras biológicas : 235–249 .
  73. ↑ JH Smith, C. Rowland, B. Harland, S. Moslehi, K. Schobert, RM Montgomery, WJ Watterson, J. Dalrymple-Alford, RP Taylor, "Cómo las neuronas aprovechan la geometría fractal para maximizar la conectividad física", Scientific Reports, 11, 2332 (2021)
  74. ↑ Leggett, Susan E.; Neronha, Zachary J.; Bhaskar, Dhananjay; Sim, Jea Yun; Perdikari, Theodora Myrto; Wong, Ian Y. (27 de agosto de 2019). "Agregación limitada por la motilidad de células epiteliales mamarias en cúmulos de tipo fractal" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 116 (35): 17298– 17306. Bibcode : 2019PNAS..11617298L . doi : 10.1073/pnas.1905958116 . ISSN 0027-8424 . PMC 6717304. PMID 31413194 .   
  75. ↑ Jelinek, Herbert F; Fernandez, Eduardo (junio de 1998). "Neuronas y fractales: ¿cuán fiables y útiles son los cálculos de dimensiones fractales?" . Journal of Neuroscience Methods . 81 ( 1–2 ): 9–18 . doi : 10.1016/S0165-0270(98 ) 00021-1 . PMID 9696304. S2CID 3811866 .  
  76. ↑ Cross, Simon S. (1997). "Fractales en patología" . The Journal of Pathology . 182 (1): 1– 8. doi : 10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1 < 1::AID - PATH808 > 3.0.CO ; 2-B . ISSN 1096-9896 . PMID 9227334. S2CID 23274235 .   
  77. ↑ Sadegh, Sanaz; Higgins, Jenny L.; Mannion, Patrick C.; Tamkun, Michael M.; Krapf, Diego (9 de marzo de 2017). "La membrana plasmática está compartimentalizada por una red de actina cortical autosimilar" . Physical Review X. 7 ( 1) 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX...7a1031S . doi : 10.1103/ PhysRevX.7.011031 . ISSN 2160-3308 . PMC 5500227. PMID 28690919 .   
  78. ↑ Speckner, Konstantin; Stadler, Lorenz; Weiss, Matthias (9 de julio de 2018). "Dinámica anómala de la red del retículo endoplasmático" . Physical Review E. 98 ( 1) 012406. Bibcode : 2018PhRvE..98a2406S . doi : 10.1103/PhysRevE.98.012406 . ISSN 2470-0045 . PMID 30110830. S2CID 52010780 .   
  79. ↑ RPTaylor, AP Micolich y D. Jonas, Fractal Expressionism, Physics World, 25, octubre de 1999.
  80. ↑ Taylor, Richard P., Adam P. Micolich y David Jonas. "Análisis fractal de las pinturas de goteo de Pollock". Nature 399.6735 (1999): 422. Impreso.
  81. ↑ JR Mureika, CC Dyer, GC Cupchik, "Estructura multifractal en el arte no representacional", Physical Review E, vol. 72, 046101-1-15 (2005).
  82. ↑ C. Redies, J. Hasenstein y J. Denzler, "Estadísticas de imágenes tipo fractal en el arte visual: similares a las escenas naturales", Spatial Vision, vol. 21, 137-148 (2007).
  83. ↑ S. Lee, S. Olsen y B. Gooch, "Simulación y análisis de las pinturas de Jackson Pollock", Journal of Mathematics and the Arts, vol. 1, 73-83 (2007).
  84. ↑ J. Alvarez-Ramirez, C. Ibarra-Valdez, E. Rodriguez y L. Dagdug, "Estructura de ruido 1/f en las pinturas de goteo de Pollock", Physica A, vol. 387, 281-295 (2008).
  85. ↑ DJ Graham y DJ Field, "Variaciones en la intensidad para el arte representativo y abstracto, y para el arte de los hemisferios oriental y occidental", Perception, vol. 37, 1341-1352 (2008).
  86. ↑ J. Alvarez-Ramirez, JC Echeverria, E. Rodriguez "Rendimiento de un método de análisis R/S de alta dimensión para la estimación del exponente de Hurst" Physica A, vol. 387, 6452-6462 (2008).
  87. ↑ J. Coddington, J. Elton, D. Rockmore y Y. Wang, "Análisis multifractal y autenticación de pinturas de Jackson Pollock", Actas de la SPIE, vol. 6810, 68100F 1-12 (2008).
  88. ↑ M. Al-Ayyoub, MT Irfan y DG Stork, "Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock's Drip Paintings", SPIE proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II, vol. 7869, 78690H (2009).
  89. ↑ JR Mureika y RP Taylor, "Los expresionistas abstractos y Les Automatistes: profundidad multifractal", Procesamiento de señales, vol. 93 573 (2013).
  90. ↑ RP Taylor et al, "Autenticación de pinturas de Pollock mediante geometría fractal", Pattern Recognition Letters, vol. 28, 695-702 (2005).
  91. ^ K Zheng y otros Vis Comput. DOI 10.1007/s00371-014-0985-7
  92. ↑ E De la Calleja et al Anales de Física, vol. 371, 313 (2016)
  93. ↑ Shamar, L. (2015). "What Makes a Pollock Pollock: A Machine Vision Approach" (PDF) . International Journal of Arts and Technology . 8 67389: 1– 10. CiteSeerX 10.1.1.647.365 . doi : 10.1504/IJART.2015.067389 . Archivado del original (PDF) el 25 de octubre de 2017. Recuperado el 24 de octubre de 2017 . 
  94. ↑ JH Smith, C. Holt, NH Smith, RP Taylor "Uso del aprendizaje automático para distinguir entre pinturas auténticas e imitaciones de Jackson Pollock vertido: un enfoque basado en mosaicos para la computación", "n anOl ne" vol. 19, e0302962 (2024)
  95. ↑ Frame, Michael; y Mandelbrot, Benoît B.; Un panorama de los fractales y sus usos. Archivado el 23 de diciembre de 2007 en Wayback Machine .
  96. ↑ Nelson, Bryn (23 de febrero de 2000). "Matemáticas sofisticadas detrás de los diseños de aldeas africanas / Los patrones fractales usan la repetición a gran y pequeña escala" . SFGATE . Consultado el 12 de febrero de 2023 .
  97. ^ Situngkir, Hokky; Dahlan, Rolan (2009). Fisika batik: implementasi kreatif melalui sifat fraktal pada batik secara komputasional . Yakarta: Gramedia Pustaka Utama. ISBN 978-979-22-4484-7
  98. ↑ Rulistia, Novia D. (6 de octubre de 2015). "Una aplicación traza un mapa de la historia del batik en la nación" . The Jakarta Post . Recuperado el 25 de septiembre de 2016 .
  99. ↑ Koutonin, Mawuna (18 de marzo de 2016). «Historia de ciudades n.º 5: Ciudad de Benín, la poderosa capital medieval ahora desaparecida sin dejar rastro». Consultado el 2 de abril de 2018.
  100. ↑ Wilson, Edward O. (1984). Biofilia . Cambridge, MA : Harvard University Press . ISBN 0-674-07442-4.
  101. ↑ RP Taylor, C. Viengkham, JH Smith, C. Rowland, S. Moslehi, S. Stadlober, A. Lesjak, M. Lesjak, B. Spehar, "Fractal Fluency: Processing of Fractal Stimuli Across Sight, Sound and Touch", The Fractal Geometry of the Brain, Edición II, Advances in Neurobiology, vol 36. 907-934, Springer, 2024.
  102. ↑ RP Taylor, B. Spehar, P. Van Donkelaar y CM Hagerhall, "Respuestas perceptivas y fisiológicas a los fractales de Jackson Pollock", Frontiers in Human Neuroscience, vol. 5 1- 13 (2011).
  103. ↑ RP Taylor, "El potencial de los diseños fractales biofílicos para promover la salud y el rendimiento: una revisión de experimentos y aplicaciones", Journal of Sustainability: edición especial "Arquitectura y salutogénesis: más allá de la calidad ambiental interior", vol. 13, 823 (2021)
  104. ↑ Taylor, Richard P. (2006). "Reducción del estrés fisiológico mediante el arte y la arquitectura fractal" . Leonardo . 39 (3): 245– 251. Bibcode : 2006Leo....39..245T . doi : 10.1162/leon.2006.39.3.245 . S2CID 8495221 . 
  105. ↑ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (2006). "Análisis fractal de pirámides mesoamericanas". Dinámica no lineal, psicología y ciencias de la vida . 10 (1): 105– 122. PMID 16393505 . 
  106. ↑ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter RT; Liebovitch, Larry S. (2005). "El pasado roto: fractales en arqueología". Journal of Archaeological Method and Theory . 12 (1): 37– 78. Bibcode : 2005JAMT...12...37B . doi : 10.1007/s10816-005-2396-6 . S2CID 7481018 . 
  107. ↑ Azua-Bustos, Armando; Vega-Martínez, Cristian (octubre de 2013). ""Detectando 'la vida tal como la desconocemos' mediante análisis fractal"" . Revista Internacional de Astrobiología . 12 (4): 314– 320. doi : 10.1017/S1473550413000177 . hdl : 11336/26238 . S2CID 122793675 . 
  108. ↑ Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (1999). "Autosimilitud y requisitos geométricos para la independencia de frecuencia en antenas". Fractals . 7 (1): 79– 84. doi : 10.1142/S0218348X99000098 .
  109. ↑ RP Taylor, "El viaje interdisciplinario hacia la biónica fractal", artículo invitado para Physics Today, 44-50, diciembre de 2024
  110. ↑ Zhiwei Huang; Yunho Hwang; Vikrant Aute; Reinhard Radermacher (2016). "Revisión de intercambiadores de calor fractales" (PDF) Conferencia Internacional de Refrigeración y Aire Acondicionado . Artículo 1725{{cite web}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
  111. ↑ Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (2012). "Estructuras fractales para transistores de potencia AlGaN/GaN de área grande y baja resistencia". 24.º Simposio Internacional sobre Dispositivos Semiconductores de Potencia y Circuitos Integrados de 2012. pp. 341–344 . doi : 10.1109/ISPSD.2012.6229091 . ISBN  978-1-4577-1596-9. S2CID 43053855 . 
  112. ↑ Chen, Yanguang (2011). "Modelado de la estructura fractal de las distribuciones del tamaño de las ciudades mediante funciones de correlación" . PLOS ONE . 6 (9) e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO...624791C . doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775. PMID 21949753 .  
  113. ↑ Cheng, Qiuming (1997). "Modelado multifractal y análisis de lacunaridad". Geología matemática . 29 (7): 919– 932. Bibcode : 1997MatG...29..919C . doi : 10.1023/A:1022355723781 . S2CID 118918429 . 
  114. ↑ "Características internas de la GPU" (PDF) .
  115. ↑ "Patentes de Sony" .
  116. ↑ "descripción de texturas swizzled y swizzled híbridas en mosaico" .
  117. ↑ "US8773422B1 - Sistema, método y producto de programa informático para agrupar primitivas ordenadas linealmente" . Patentes de Google . 4 de diciembre de 2007. Consultado el 28 de diciembre de 2019 .
  118. ↑ "US20110227921A1 - Procesamiento de datos de gráficos por computadora 3D en múltiples motores de sombreado" . Patentes de Google . 15 de diciembre de 2010. Consultado el 27 de diciembre de 2019 .
  119. ↑ "Bases de datos de turbulencia de Johns Hopkins" .
  120. ↑ Li, Y.; Perlman, E.; Wang, M.; Yang, Y.; Meneveau, C.; Burns, R.; Chen, S.; Szalay, A.; Eyink, G. (2008). "Un clúster de base de datos pública de turbulencia y aplicaciones para estudiar la evolución lagrangiana de los incrementos de velocidad en la turbulencia". Journal of Turbulence . 9 : N31. arXiv : 0804.1703 . Bibcode : 2008JTurb...9...31L . doi : 10.1080/14685240802376389 . S2CID 15768582 . 
  121. ↑ Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (1989). "Insuficiencia renal en pacientes comunitarios con microhematuria asintomática leve". Mayo Clinic Proceedings . 64 (4): 409– 414. doi : 10.1016/s0025-6196(12)65730-9 . PMID 2716356 . 
  122. ↑ Landini, Gabriel (2011). "Fractales en microscopía". Journal of Microscopy . 241 (1): 1– 8. doi : 10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x . PMID 21118245 . S2CID 40311727 .  
  123. ↑ Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A. (2009). «Un enfoque algorítmico para generar campos de prueba posteriores a un desastre para agentes de búsqueda y rescate» (PDF) . Actas del Congreso Mundial de Ingeniería 2009 : 93–98 . ISBN 978-988-17-0125-1.
  124. ↑ Chen, Yanguang (2011). "Modelado de la estructura fractal de las distribuciones del tamaño de las ciudades mediante funciones de correlación" . PLOS ONE . 6 (9) e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode : 2011PLoSO...624791C . doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775. PMID 21949753 .  
  125. ↑ "Aplicaciones" . Archivado del original el 12 de octubre de 2007. Consultado el 21 de octubre de 2007 .

Lecturas adicionales

  • Stanley, Eugene H., Ostrowsky, N. (editores); Sobre el crecimiento y la forma fractal: Patrones fractales y no fractales en física, Editorial Martinus Nijhoff, 1986. ISBN 0-89838-850-3
  • Barnsley, Michael F.; y Rising, Hawley; Fractales por todas partes . Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
  • Duarte, German A.; Narrativa fractal. Sobre la relación entre geometrías y tecnología y su impacto en los espacios narrativos . Bielefeld: Transcript, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
  • Falconer, Kenneth; Técnicas en geometría fractal . John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0
  • Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto ; y Saupe, Dietmar; Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia . Nueva York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
  • Mandelbrot, Benoit B.; La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
  • Peitgen, Heinz-Otto; y Saupe, Dietmar; editores; La ciencia de las imágenes fractales . Nueva York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
  • Pickover, Clifford A .; ed.; Caos y fractales: Un viaje gráfico por computadora – Una recopilación de 10 años de investigación avanzada . Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
  • Jones, Jesse; Fractales para Macintosh , Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8.
  • Lauwerier, Hans; Fractales: Figuras geométricas que se repiten infinitamente , traducido por Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X, tela. ISBN 0-691-02445-6Edición de bolsillo. "Este libro ha sido escrito para un público amplio..." Incluye ejemplos de programas en BASIC en un apéndice.
  • Sprott, Julien Clinton (2003). Caos y análisis de series temporales . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850839-7.
  • Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; y Kampman, Eric; Explorando fractales en Macintosh , Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6
  • Lesmoir-Gordon, Nigel; Los colores del infinito: la belleza, el poder y el sentido de los fractales . 2004. ISBN 1-904555-05-5(El libro incluye un DVD con el documental de Arthur C. Clarke que introduce el concepto fractal y el conjunto de Mandelbrot ).
  • Liu, Huajie; Arte fractal , Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348.
  • Gouyet, Jean-François; Física y estructuras fractales (Prólogo de B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1y Nueva York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0Agotado. Disponible en versión PDF en: «Física y estructuras fractales» (en francés). Jfgouyet.fr . Consultado el 17 de octubre de 2010 .
  • Falconer, Kenneth (2013). Fractales, una introducción muy breve . Oxford University Press.
  • Fractales en los archivos web de la Biblioteca del Congreso (archivado el 16 de noviembre de 2001)
  • " En busca de la dimensión oculta ", PBS NOVA , emitido por primera vez el 24 de agosto de 2011.
  • Benoit Mandelbrot: Fractales y el arte de la rugosidad (), TED , febrero de 2010
  • Ecuaciones de la medida fractal autosimilar basadas en el cálculo de orden fraccional (2007)
  • Fractal de los cinco elementos orientales