Conjunto incontable

En matemáticas , un conjunto no numerable , de forma informal, es un conjunto infinito que contiene demasiados elementos para ser numerable . La no numerabilidad de un conjunto está estrechamente relacionada con su cardinalidad : un conjunto es no numerable si su cardinalidad es mayor que aleph-nulo , la cardinalidad de los números naturales .

Ejemplos de conjuntos no numerables incluyen el conjunto ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$de todos los números reales y el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales .

Existen muchas caracterizaciones equivalentes de la no numerabilidad. Un conjunto X es no numerable si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• No existe ninguna función inyectiva (por lo tanto, no existe ninguna biyección ) de X al conjunto de los números naturales.
• X no es vacío y para cada secuencia ω de elementos de X , existe al menos un elemento de X que no está incluido en ella. Es decir, X no es vacío y no hay ninguna función sobreyectiva de los números naturales a X.
• La cardinalidad de X no es ni finita ni igual a${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-nulo ).
• El conjunto X tiene cardinalidad estrictamente mayor que${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Las tres primeras de estas caracterizaciones pueden demostrarse equivalentes en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección , pero la equivalencia de la tercera y la cuarta no puede demostrarse sin principios de elección adicionales.

Si un conjunto no numerable X es un subconjunto del conjunto Y , entonces Y es no numerable.

El ejemplo más conocido de un conjunto no numerable es el conjunto ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$de todos los números reales ; el argumento diagonal de Cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica de demostración por diagonalización también se puede utilizar para demostrar que otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales .${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ (ver: (secuencia A102288 en la OEIS ) ), y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de los números naturales. La cardinalidad de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$A menudo se la denomina cardinalidad del continuo y se denota por${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, o${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$^{[ 1 ]} , o${\displaystyle \beth _{1}}$( beth-one ).

El conjunto de Cantor es un subconjunto no numerable de${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . El conjunto de Cantor es un fractal y tiene dimensión de Hausdorff mayor que cero pero menor que uno ( ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene dimensión uno). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$Los elementos de dimensión de Hausdorff estrictamente mayores que cero deben ser incontables.

Otro ejemplo de un conjunto no numerable es el conjunto de todas las funciones de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$a​​${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . Este conjunto es incluso "más incontable" que ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$en el sentido de que la cardinalidad de este conjunto es${\displaystyle \beth _{2}}$( beth dos ), que es más grande que${\displaystyle \beth _{1}}$.

Un ejemplo más abstracto de un conjunto no numerable es el conjunto de todos los números ordinales numerables , denotado por Ω o ω ₁ . ^{[ 2 ]} La cardinalidad de Ω se denota${\displaystyle \aleph _{1}}$( aleph-uno ). Se puede demostrar, utilizando el axioma de elección , que${\displaystyle \aleph _{1}}$es el número cardinal no contable más pequeño . Por lo tanto, o bien${\displaystyle \beth _{1}}$, la cardinalidad de los reales, es igual a${\displaystyle \aleph _{1}}$o es estrictamente mayor. Georg Cantor fue el primero en plantear la cuestión de si${\displaystyle \beth _{1}}$es igual a${\displaystyle \aleph _{1}}$En 1900, David Hilbert planteó esta pregunta como el primero de sus 23 problemas . La afirmación de que${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$Ahora se la denomina hipótesis del continuo y se sabe que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (incluido el axioma de elección ).

Sin el axioma de elección , podrían existir cardinalidades incomparables a${\displaystyle \aleph _{0}}$(es decir, las cardinalidades de conjuntos infinitos finitos de Dedekind ). Los conjuntos con estas cardinalidades satisfacen las tres primeras caracterizaciones anteriores, pero no la cuarta. Dado que estos conjuntos no son mayores que los números naturales en el sentido de cardinalidad, algunos podrían no querer llamarlos incontables.

Si se cumple el axioma de elección, se cumplen las siguientes condiciones sobre un cardinal${\displaystyle \kappa }$son equivalentes:

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _ {0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _ {0};}$y
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _ {1}}$, dónde${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$y${\displaystyle \omega _{1}}$es el ordinal inicial más pequeño mayor que${\displaystyle \omega .}$

Sin embargo, todas estas generalizaciones pueden ser diferentes si el axioma elegido falla. Por lo tanto, no es obvio cuál es la generalización apropiada de "incontable" cuando el axioma falla. Quizás sea mejor evitar usar la palabra en este caso y especificar a cuál de ellas se refiere.

• Número Aleph
• Número de Beth
• Primer ordinal incontable
• Función inyectiva

• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6(Edición de Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4(Edición de bolsillo).
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en matemáticas (  edición del tercer milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2