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Perpetuidad

En finanzas, una perpetuidad es una anualidad con pagos que continúan indefinidamente. [ 1 ] Las fórmulas de perpetuidad se utilizan en la valoración del valor temporal del dine...

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En finanzas, una perpetuidad es una anualidad con pagos que continúan indefinidamente. [ 1 ]

Las fórmulas de perpetuidad se utilizan en la valoración del valor temporal del dinero y en la valoración de flujos de efectivo descontados . Entre las aplicaciones comunes se incluyen la valoración de acciones según el modelo de descuento de dividendos , la estimación del valor terminal en la valoración de empresas y la capitalización de ingresos estabilizados en la tasación inmobiliaria . [ 2 ] [ 3 ]

Tipos y supuestos

La valoración de una perpetuidad depende del momento de los pagos y de si estos son constantes o aumentan con el tiempo. La tasa de descuento ,r{\displaystyle r}se indica por período de pago (por ejemplo, por año si los pagos son anuales). [ 2 ] [ 4 ]

Perpetuidad ordinaria

Los pagos se realizan al final de cada período, siendo el primer pago dentro de un período. [ 2 ] [ 4 ]

Perpetuidad debida

Los pagos se realizan al inicio de cada período, y el primer pago se efectúa inmediatamente. Debido a que cada pago se recibe un período antes, una perpetuidad anticipada tiene un valor presente mayor que una perpetuidad ordinaria idéntica. [ 2 ] [ 4 ]

Nivel perpetuidad

El monto del pago es constante en cada período. Las fórmulas estándar suponen una tasa de descuento constante yr>0{\displaystyle r>0}, por lo que la suma descontada converge a un valor finito. [ 1 ] [ 4 ]

Crecimiento perpetuo

Los pagos aumentan a un ritmo constante.gramo{\displaystyle g}por período. La valoración habitual de forma cerrada se aplica solo cuandor>gramo{\displaystyle r>g}. Sir≤gramo{\displaystyle r\leq g}, la suma descontada no converge a un valor finito. [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]

Valuación

La valoración se obtiene descontando cada pago y sumando la serie infinita resultante. Sear{\displaystyle r}sea ​​la tasa de descuento por período.

Perpetuidad nivelada (perpetuidad ordinaria)

Según la convención de perpetuidad ordinaria (primer pago dentro de un período), un pago perpetuo constanteA{\displaystyle A}Cada período tiene un valor presente: [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]

PAGV=∑t=1∞A(1+r)tPV=\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {A}{(1+r)^{t}}}

Al expandir los primeros términos queda clara la razón constante entre términos sucesivos: [ 1 ] [ 4 ]

PAGV=A1+r+A(1+r)2+A(1+r)3+⋯PV={\frac {A}{1+r}}+{\frac {A}{(1+r)^{2}}}+{\frac {A}{(1+r)^{3}}}+\cdots

Factoriza el primer término: PAGV=A1+r(1+11+r+1(1+r)2+⋯){\displaystyle PV={\frac {A}{1+r}}\left(1+{\frac {1}{1+r}}+{\frac {1}{(1+r)^{2}}}+\cdots \right)}La suma entre paréntesis es una serie geométrica con razónq=11+r{\displaystyle q={\frac {1}{1+r}}}, que converge cuando|q|<1{\displaystyle |q|<1}. Parar>0{\displaystyle r>0}, esta condición se cumple, por lo que la suma se puede evaluar: [ 1 ] [ 4 ]

PAGV=A1+r⋅11−11+r=ArPV={\frac {A}{1+r}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{1+r}}}}={\frac {A}{r}}

Este resultado significa que el valor de una perpetuidad nivelada aumenta en proporción directa al pago.A{\displaystyle A}y disminuye a medida que disminuye la tasa de descuentor{\displaystyle r}aumentos (los pagos futuros se descuentan más). [ 1 ] [ 4 ]

Perpetuidad debida

Si el primer pago se realiza inmediatamente (una perpetuidad vencida), el valor presente es mayor en un pago sin descontar: [ 2 ] [ 4 ]

PAGVpendiente=A+ArPV_{\text{due}}=A+{\frac {A}{r}}

Este resultado significa que recibir cada pago un período antes aumenta el valor en exactamente un pago adicional hoy, porque el valor de la perpetuidad ordinaria comienza a descontarse desdet=1{\displaystyle t=1}. [ 2 ] [ 4 ]

Crecimiento perpetuo

Una perpetuidad creciente se deriva de la misma manera. SeadoF1{\displaystyle CF_{1}}Sea el pago esperado el próximo período y deje que los pagos crezcan a una tasa constante.gramo{\displaystyle g}, entoncesdoFt=doF1(1+gramo)t−1{\displaystyle CF_{t}=CF_{1}(1+g)^{t-1}}. Al descontar y sumar se obtiene: [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]

PAGV=∑t=1∞doF1(1+gramo)t−1(1+r)t=doF11+r∑t=1∞(1+gramo1+r)t−1PV=\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {CF_{1}(1+g)^{t-1}}{(1+r)^{t}}}={\frac {CF_{1}}{1+r}}\sum _{t=1}^{\infty }\left({\frac {1+g}{1+r}}\right)^{t-1}

La proporción es1+gramo1+r{\displaystyle {\frac {1+g}{1+r}}}, por lo que la suma converge cuando1+gramo1+r<1{\displaystyle {\frac {1+g}{1+r}}<1}, lo cual es equivalente ar>gramo{\displaystyle r>g}. Al evaluar la serie se obtiene: [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]

PAGV=doF11+r⋅11−1+gramo1+r=doF1r−gramoPV={\frac {CF_{1}}{1+r}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1+g}{1+r}}}}={\frac {CF_{1}}{r-g}}

Este resultado significa que el valor aumenta con el flujo de caja del próximo período.doF1{\displaystyle CF_{1}}y aumenta a medida que crecegramo{\displaystyle g}sube, pero solo mientrasr>gramo{\displaystyle r>g}. Comogramo{\displaystyle g}aprochesr{\displaystyle r}, el denominador se reduce y la valoración se vuelve muy sensible a pequeños cambios enr{\displaystyle r}ogramo{\displaystyle g}. [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]

Aplicaciones

Las perpetuidades se utilizan como modelos simplificados para valorar activos que se espera que generen flujos de efectivo durante un período muy largo, o para representar el valor de los flujos de efectivo más allá de un horizonte de pronóstico explícito. [ 1 ] [ 5 ]

En la tasación inmobiliaria, la capitalización directa convierte una estimación de los ingresos estabilizados de un año en una indicación de valor, dividiéndola por una tasa de capitalización derivada del mercado (tasa de capitalización). Bajo el supuesto estándar de ingresos estabilizados, esto tiene la misma forma algebraica que la valoración de una perpetuidad constante, donde la tasa de capitalización actúa como una rentabilidad requerida para ese flujo de ingresos. [ 6 ] [ 3 ]

En finanzas corporativas y valoración de acciones , el modelo de descuento de dividendos de crecimiento constante trata los dividendos como una perpetuidad creciente y expresa el precio de la acción en términos de los dividendos del próximo período, la tasa de descuento y la tasa de crecimiento. También se utilizan expresiones similares de perpetuidad creciente para estimar el valor terminal en el análisis de flujos de efectivo descontados una vez que se supone que una empresa ha alcanzado un crecimiento estable. [ 1 ] [ 5 ]

Algunos instrumentos financieros pueden aproximarse como perpetuidades. Por ejemplo, las acciones preferentes con dividendos fijos y sin fecha de vencimiento se valoran comúnmente descontando el flujo de dividendos como una perpetuidad constante, utilizando una rentabilidad requerida adecuada al riesgo de los dividendos. [ 5 ] [ 4 ]

Las perpetuidades aparecen en ejemplos didácticos de fondos de dotación diseñados para preservar el capital mientras se distribuye una cantidad regular de forma indefinida (por ejemplo, para financiar una beca). [ 4 ]

Ejemplos

Los bonos perpetuos son títulos públicos sin fecha de vencimiento programada que pagan un cupón fijo hasta que el emisor los reembolsa. [ 7 ] Los bonos perpetuos británicos se originaron en el siglo XVIII y se emitieron en varias formas, incluidos los bonos perpetuos del 4% a finales de la década de 1920 y principios de la de 1930. [ 7 ]

En la década de 2010, el gobierno del Reino Unido tomó medidas para eliminar los bonos del Estado sin fecha de vencimiento restantes. En octubre de 2014 anunció el reembolso del Préstamo Consolidado del 4% (reembolsado el 1 de febrero de 2015), señalando que la emisión databa de 1927 y que los pagos de intereses acumulados desde entonces se estimaban en 1260 millones de libras esterlinas. [ 8 ] [ 9 ] En diciembre de 2014 anunció el reembolso del Préstamo de Guerra del 3 + 1 / 2 % a la par el 9 de marzo de 2015. [ 10 ] [ 11 ] Otros avisos operativos en 2015 cubrieron bonos del Estado sin fecha de vencimiento adicionales y bonos "remanentes" que se reembolsaron más tarde ese año, y la legislación proporcionó un marco para el reembolso de los bonos del gobierno sin fecha de vencimiento restantes. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

Los ejemplos modernos de instrumentos de flujo de efectivo "perpetuos" son comunes en el capital regulatorio bancario. Según las normas de capital de Basilea III , un instrumento elegible como capital adicional de nivel 1 debe ser perpetuo (sin fecha de vencimiento), aunque puede incluir opciones de compra del emisor (sujetas a condiciones como un período mínimo antes de la primera compra y la aprobación de la supervisión). [ 17 ] Estos instrumentos suelen estar estructurados para absorber pérdidas en situaciones de estrés (por ejemplo, mediante conversión o depreciación), lo que los hace más riesgosos que los bonos convencionales a pesar de sus cupones similares a los de los bonos. [ 17 ]

Las perpetuidades se utilizan para ilustrar acuerdos de financiación a largo plazo. Muchos fondos patrimoniales universitarios se definen como fondos cuyo capital se invierte a perpetuidad, con un gasto limitado a los rendimientos de la inversión según una política de gasto institucional. [ 18 ] [ 19 ]

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C.; Allen, Franklin (2011). Principios de finanzas corporativas (10.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338238-8.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Damodaran, Aswath. Apéndice 3: Valor temporal del dinero (PDF) (Informe). Stern School of Business, Universidad de Nueva York . Recuperado el 10 de enero de 2026 .
  3. 1 2 Brueggeman, William B.; Fisher, Jeffrey D. (2010). Finanzas e inversiones inmobiliarias (14.ª ed.). McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-714456-2.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 "8.1 Perpetuidades" . Principios de Finanzas . OpenStax. 24 de marzo de 2022. Recuperado el 10 de enero de 2026 .
  5. 1 2 3 Damodaran, Aswath. Capítulo 12: Valoración: Principios y práctica (PDF) (Informe). Stern School of Business, Universidad de Nueva York . Recuperado el 10 de enero de 2026 .
  6. ↑ La tasación de bienes inmuebles (15.ª ed.). Chicago: Appraisal Institute. 2020. ISBN  978-1-935328-78-0.
  7. 1 2 "Consol" . Enciclopedia Británica . Consultado el 11 de enero de 2026 .
  8. ↑ "El ministro de Hacienda Osborne pagará parte de nuestra deuda de la Primera Guerra Mundial" . GOV.UK. Tesoro de Su Majestad. 31 de octubre de 2014. Consultado el 11 de enero de 2026 .
  9. ↑ "Amortización del préstamo consolidado al 4%" (PDF) (Comunicado de prensa). Oficina de Gestión de la Deuda del Reino Unido. 31 de octubre de 2014. Consultado el 10 de enero de 2026 .
  10. ↑ "El Ministro de Hacienda pagará la deuda nacional de la Primera Guerra Mundial" . GOV.UK. Tesoro de Su Majestad. 3 de diciembre de 2014. Consultado el 11 de enero de 2026 .
  11. ↑ "Amortización del préstamo de guerra del 3 1/2 % " (PDF) (Comunicado de prensa). Oficina de Gestión de la Deuda del Reino Unido. 3 de diciembre de 2014. Consultado el 10 de enero de 2026 .
  12. ↑ "Amortización de bonos del Tesoro al 3%" (PDF) (Comunicado de prensa). Oficina de Gestión de la Deuda del Reino Unido. 6 de febrero de 2015. Consultado el 11 de enero de 2026 .
  13. ↑ "Amortización de anualidades al 2 3/4 %, anualidades al 2 1/2 % , acciones consolidadas al 2 1/2 % y acciones de tesorería al 2 1/2 % " ( PDF ) ( Comunicado de prensa). Oficina de Gestión de la Deuda del Reino Unido. 27 de marzo de 2015. Consultado el 11 de enero de 2026 .
  14. ↑ "Ley de Finanzas de 2015, artículo 124: Amortización de títulos públicos sin fecha de vencimiento" . legislation.gov.uk . Consultado el 11 de enero de 2026 .
  15. ↑ "Ley de Finanzas de 2015: Notas explicativas del artículo 124 (Reembolso de bonos gubernamentales sin fecha de vencimiento)" . legislation.gov.uk . Consultado el 11 de enero de 2026 .
  16. ↑ Revisión anual de la Oficina de Gestión de la Deuda 2014–15 (PDF) (Informe). Oficina de Gestión de la Deuda del Reino Unido. 1 de agosto de 2015. Consultado el 11 de enero de 2026 .
  17. 1 2 Definición de capital de Basilea III: Preguntas frecuentes (PDF) (Informe). Banco de Pagos Internacionales (Comité de Supervisión Bancaria de Basilea). Diciembre de 2017. Consultado el 11 de enero de 2026 .
  18. ↑ "Proceso de pago de fondos de dotación" . Fingate . Universidad de Stanford . Consultado el 11 de enero de 2026 .
  19. ↑ "Donaciones y legados: definiciones" . Oficina de Finanzas . Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Harvard . Consultado el 11 de enero de 2026 .

Véase también

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