Esferoide

La circunferencia ecuatorial de un esferoide se mide alrededor de su ecuador y se expresa como:

${\displaystyle C_{\text{e}}=2\pi a}$

La circunferencia meridional o polar de un esferoide se mide a través de sus polos y se expresa como: $${\displaystyle C_{\text{p}}\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$La circunferencia volumétrica de un esferoide es la circunferencia de una esfera de igual volumen que el esferoide y se expresa como:

${\displaystyle C_{\text{v}}=2{\sqrt[{3}]{a^{2}c}}}$

Un esferoide oblato con c < a tiene área superficial

${\displaystyle S_{\text{o}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e_{o}^{2}}{e_{o}}}\operatorname {arctanh} e_{o}\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e_{o}}}\ln \left({\frac {1+e_{o}}{1-e_{o}}}\right)}$

dónde${\displaystyle e_{o}^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$. Un esferoide prolato con c > a tiene área superficial

${\displaystyle S_{\text{p}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae_{p}}}\arcsin \,e_{p}\right)}$

dónde${\displaystyle e_{p}^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$ En ambos casos, e _o y e _p pueden identificarse como la excentricidad (véase la elipse ). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Estas fórmulas son idénticas en el sentido de que la fórmula para S _o puede usarse para calcular el área superficial de un esferoide prolato y viceversa. Sin embargo, e _o se vuelve entonces imaginaria y ya no puede identificarse directamente con la excentricidad. Ambos resultados pueden expresarse de muchas otras maneras utilizando identidades matemáticas estándar y relaciones entre los parámetros de la elipse.

El volumen dentro de un esferoide (de cualquier tipo) es

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

Si A = 2a es el diámetro ecuatorial y C = 2c es el diámetro polar, el volumen es

${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

Sea un esferoide parametrizado como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

donde β es la latitud reducida o latitud paramétrica y λ es la longitud , con dominio − ⁠ π / 2 ⁠ < β < + ⁠ π / 2 ⁠ y −π < λ < +π , respectivamente. Entonces, la curvatura gaussiana del esferoide es:

${\displaystyle K(\beta )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

y su curvatura media es

${\displaystyle H(\beta )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Ambas curvaturas dependen únicamente de la latitud y son siempre positivas, por lo que cada punto de un esferoide es elíptico.

La relación de aspecto de un esferoide/elipse achatado, c  : a , es la relación entre las longitudes polar y ecuatorial, mientras que el achatamiento (también llamado achatamiento ) f , es la relación entre la diferencia de longitud ecuatorial-polar y la longitud ecuatorial:

${\displaystyle f={\frac {ac}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

La primera excentricidad (generalmente simplemente excentricidad, como se indicó anteriormente) se usa a menudo en lugar del aplanamiento. ^{[ 4 ]} Se define por:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Las relaciones entre excentricidad y aplanamiento son:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

Todos los elipsoides geodésicos modernos se definen mediante el semieje mayor más el semieje menor (que determina la relación de aspecto), el achatamiento o la primera excentricidad. Si bien estas definiciones son matemáticamente intercambiables, los cálculos prácticos pierden cierta precisión. Para evitar confusiones, una definición elipsoidal considera que sus propios valores son exactos en la forma que proporciona.

El esferoide achatado es la forma aproximada de los planetas en rotación y otros cuerpos celestes , incluyendo la Tierra, Saturno , Júpiter y la estrella Altair , que gira rápidamente . Saturno es el planeta más achatado del Sistema Solar , con un achatamiento de 0,09796. ^{[ 5 ]} Véase achatamiento planetario y abultamiento ecuatorial para más detalles.

El científico ilustrado Isaac Newton , basándose en los experimentos con péndulo de Jean Richer y en las teorías de Christiaan Huygens para su interpretación, razonó que Júpiter y la Tierra son esferoides achatados debido a su fuerza centrífuga . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Los diversos sistemas cartográficos y geodésicos de la Tierra se basan en elipsoides de referencia , todos los cuales son achatados.

El esferoide prolato es la forma aproximada del balón que se usa en el fútbol americano y en el rugby .

Varias lunas del Sistema Solar tienen una forma aproximada a esferoides alargados, aunque se asemejan más a elipsoides triaxiales . Algunos ejemplos son los satélites de Saturno , Mimas , Encélado y Tetis , y el satélite de Urano , Miranda .

A diferencia de la distorsión que se produce al girar rápidamente, los objetos celestes se deforman ligeramente al orbitar un cuerpo masivo en una órbita cercana, adquiriendo forma de esferoides aplanados debido a las fuerzas de marea . El ejemplo más extremo es Io , la luna de Júpiter , que se vuelve ligeramente más o menos aplanada en su órbita debido a una leve excentricidad, lo que provoca un intenso vulcanismo . En este caso, el eje mayor del esferoide aplanado no pasa por los polos del satélite, sino por los dos puntos de su ecuador que apuntan directamente hacia el cuerpo principal y en dirección opuesta. Esto, sumado a la menor deformación aplanada debida a la rotación síncrona, hace que el cuerpo se vuelva triaxial.

El término también se utiliza para describir la forma de algunas nebulosas como la Nebulosa del Cangrejo . ^{[ 9 ]} Las zonas de Fresnel , utilizadas para analizar la propagación de ondas y la interferencia en el espacio, son una serie de esferoides alargados concéntricos con ejes principales alineados a lo largo de la línea de visión directa entre un transmisor y un receptor.

Los núcleos atómicos de los elementos actínidos y lantánidos tienen forma de esferoides alargados. ^{[ 10 ]} En anatomía, los órganos casi esferoidales, como los testículos, pueden medirse por sus ejes mayor y menor . ^{[ 11 ]}

Muchos submarinos tienen una forma que puede describirse como esferoide prolato. ^{[ 12 ]}

Para un esferoide con densidad uniforme, el momento de inercia es el de un elipsoide con un eje de simetría adicional. Dada una descripción de un esferoide con un eje mayor c y ejes menores a = b , los momentos de inercia a lo largo de estos ejes principales son C , A y B. Sin embargo, en un esferoide los ejes menores son simétricos. Por lo tanto, nuestros términos de inercia a lo largo de los ejes mayores son: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

donde M es la masa del cuerpo definida como

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$