Tangente

En geometría , la recta tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es, intuitivamente, la recta que "toca" la curva en ese punto. Leibniz la definió como la recta que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Más precisamente, una recta es tangente a la curva y = f ( x ) en un punto x = c si la recta pasa por el punto ( c , f ( c )) en la curva y tiene pendiente f ' ( c ) , donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas en el espacio euclidiano n- dimensional .

El punto donde la recta tangente y la curva se encuentran o intersecan se denomina punto de tangencia . Se dice que la recta tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación rectilínea a la curva en ese punto. La recta tangente a un punto de una curva diferenciable también puede considerarse una aproximación de recta tangente , la gráfica de la función afín que mejor aproxima la función original en el punto dado. ^{[ 3 ]}

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y se ha generalizado ampliamente ;

Etimología

La palabra tangente proviene del latín tangens (que significa "que toca"), participio presente de tangere (que significa "tocar"). ^{[ 4 ]}

Historia

Euclides hace varias referencias a la tangente ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) a un círculo en el libro III de los Elementos (c. 300 a. C.). ^[⁵^] En la obra Cónicas de Apolonio (c. 225 a. C.) define una tangente como una línea tal que ninguna otra línea recta podría caer entre ella y la curva . ^[⁶^]

Arquímedes (c. 287 – c. 212 a. C.) halló la tangente a una espiral arquimediana considerando la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de la curva. ^{[ 6 ]}

En la década de 1630, Fermat desarrolló la técnica de la desigualdad para calcular tangentes y otros problemas de análisis, y la utilizó para calcular tangentes a la parábola. La técnica de la desigualdad es similar a tomar la diferencia entre $f(x+h)$ y $f(x)$ y dividiendo por una potencia de $h$ . De forma independiente, Descartes utilizó su método de normales basado en la observación de que el radio de un círculo siempre es normal al propio círculo. ^{[ 7 ]}

Estos métodos llevaron al desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII. Muchas personas contribuyeron. Roberval descubrió un método general para trazar tangentes, considerando una curva como descrita por un punto móvil cuyo movimiento es la resultante de varios movimientos más simples. ^{[ 8 ]} René-François de Sluse y Johannes Hudde encontraron algoritmos algebraicos para encontrar tangentes. ^{[ 9 ]} Otros desarrollos incluyeron los de John Wallis e Isaac Barrow , que llevaron a la teoría de Isaac Newton y Gottfried Leibniz .

Una definición de tangente de 1828 era "una línea recta que toca una curva, pero que al prolongarse no la corta". ^{[ 10 ]} Esta antigua definición impide que los puntos de inflexión tengan alguna tangente. Ha sido descartada y las definiciones modernas son equivalentes a las de Leibniz , quien definió la línea tangente como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva; en terminología moderna, esto se expresa como: la tangente a una curva en un punto $P$ de la curva es el límite de la línea que pasa por dos puntos de la curva cuando estos dos puntos tienden a $P.$

Línea tangente a una curva plana

La noción intuitiva de que una línea tangente "toca" una curva se puede hacer más explícita al considerar la secuencia de líneas rectas ( secantes ) que pasan por dos puntos, A y B , que se encuentran sobre la curva de la función. La tangente en A es el límite cuando el punto B se aproxima o tiende a A. La existencia y unicidad de la línea tangente depende de cierto tipo de suavidad matemática, conocida como "diferenciabilidad". Por ejemplo, si dos arcos circulares se encuentran en un punto agudo (un vértice), entonces no hay una tangente definida de forma única en el vértice porque el límite de la progresión de líneas secantes depende de la dirección en la que "el punto B " se aproxima al vértice.

En la mayoría de los puntos, la tangente toca la curva sin cruzarla (aunque, al continuar, puede cruzarla en otros lugares alejados del punto de tangencia). Un punto donde la tangente (en este punto) cruza la curva se llama punto de inflexión . Los círculos , las parábolas , las hipérbolas y las elipses no tienen puntos de inflexión, pero las curvas más complejas sí los tienen, como la gráfica de una función cúbica , que tiene exactamente un punto de inflexión, o una sinusoide, que tiene dos puntos de inflexión por cada período del seno .

Por el contrario, puede ocurrir que la curva se encuentre completamente a un lado de una línea recta que pasa por un punto de ella, y que esta línea recta no sea tangente. Este es el caso, por ejemplo, de una línea que pasa por el vértice de un triángulo y no lo interseca en ningún otro punto; en este caso, la tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometría convexa , dichas líneas se denominan líneas de soporte .

Enfoque analítico

La idea geométrica de la recta tangente como límite de rectas secantes sirve de motivación para los métodos analíticos que se utilizan para hallar rectas tangentes explícitamente. La cuestión de hallar la recta tangente a una gráfica, o el problema de la recta tangente, fue una de las cuestiones centrales que llevaron al desarrollo del cálculo en el siglo XVII. En el segundo libro de su Geometría , René Descartes ^{[ 11 ]} dijo sobre el problema de construir la tangente a una curva: «Y me atrevo a decir que este no es solo el problema más útil y general de la geometría que conozco, sino incluso el que más he deseado conocer». ^{[ 12 ]}

Descripción intuitiva

Supongamos que se da una curva como la gráfica de una función , y = f ( x ). Para hallar la recta tangente en el punto p = ( a , f ( a )), consideremos otro punto cercano q = ( a + h , f ( a + h )) en la curva. La pendiente de la recta secante que pasa por p y q es igual al cociente de diferencias.

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

A medida que el punto q se aproxima a p , lo que corresponde a hacer h cada vez más pequeño, el cociente de diferencias debe aproximarse a un cierto valor límite k , que es la pendiente de la recta tangente en el punto p . Si se conoce k , la ecuación de la recta tangente se puede encontrar en la forma punto-pendiente:

$yf(a)=k(xa).\,$

Descripción más rigurosa

Para que el razonamiento anterior sea riguroso, es necesario explicar qué se entiende por el cociente de diferencias que se aproxima a un cierto valor límite k . La formulación matemática precisa fue dada por Cauchy en el siglo XIX y se basa en la noción de límite . Supongamos que la gráfica no tiene una ruptura ni un borde agudo en p y que no es ni vertical ni demasiado ondulada cerca de p . Entonces existe un único valor de k tal que, a medida que h se aproxima a 0, el cociente de diferencias se acerca cada vez más a k , y la distancia entre ellos se vuelve despreciable en comparación con el tamaño de h , si h es suficientemente pequeño. Esto lleva a la definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica como el límite de los cocientes de diferencias para la función f . Este límite es la derivada de la función f en x = a , denotada f ′( a ). Usando derivadas, la ecuación de la recta tangente se puede expresar de la siguiente manera:

y=f(a)+f'(a)(xa).\,

El cálculo proporciona reglas para calcular las derivadas de funciones dadas por fórmulas, como la función potencial , las funciones trigonométricas , la función exponencial , el logaritmo y sus diversas combinaciones. De este modo, mediante los métodos del cálculo se pueden hallar las ecuaciones de las tangentes a las gráficas de todas estas funciones, así como de muchas otras.

Cómo puede fallar el método

El cálculo también demuestra que existen funciones y puntos en sus gráficas para los cuales no existe el límite que determina la pendiente de la recta tangente. Para estos puntos, la función f no es diferenciable . Existen dos posibles razones por las que puede fallar el método de hallar las tangentes basado en límites y derivadas: o bien existe la tangente geométrica, pero es una línea vertical, que no puede expresarse en la forma punto-pendiente ya que no tiene pendiente, o bien la gráfica presenta uno de tres comportamientos que impiden la existencia de una tangente geométrica.

La gráfica y = x ^1/3 ilustra la primera posibilidad: aquí el cociente de diferencias en a = 0 es igual a h ^1/3 / h = h ^−2/3 , que se vuelve muy grande a medida que h se acerca a 0. Esta curva tiene una línea tangente en el origen que es vertical.

La gráfica y = x² ^/³ ilustra otra posibilidad: esta gráfica tiene una cúspide en el origen. Esto significa que, cuando h se aproxima a 0, el cociente de diferencias en a = 0 se aproxima a más o menos infinito dependiendo del signo de x . Por lo tanto, ambas ramas de la curva están cerca de la línea vertical media para la cual y = 0, pero ninguna está cerca de la parte negativa de esta línea. Básicamente, no hay una tangente en el origen en este caso, pero en algún contexto se puede considerar esta línea como una tangente, e incluso, en geometría algebraica , como una tangente doble .

La gráfica y = | x | de la función valor absoluto consta de dos líneas rectas con pendientes diferentes que se unen en el origen. Cuando un punto q se acerca al origen desde la derecha, la recta secante siempre tiene pendiente 1. Cuando un punto q se acerca al origen desde la izquierda, la recta secante siempre tiene pendiente −1. Por lo tanto, no existe una tangente única a la gráfica en el origen. Tener dos pendientes diferentes (pero finitas) se denomina esquina .

Finalmente, dado que la diferenciabilidad implica continuidad, la contrapositiva establece que la discontinuidad implica no diferenciabilidad. Cualquier discontinuidad de salto o punto de este tipo no tendrá línea tangente. Esto incluye casos en los que una pendiente tiende a infinito positivo mientras que la otra tiende a infinito negativo, lo que da lugar a una discontinuidad de salto infinito.

Ecuaciones

Cuando la curva está dada por y = f ( x ), entonces la pendiente de la tangente es $dy/dx,$ Por lo tanto, según la fórmula punto-pendiente, la ecuación de la recta tangente en ( X , Y ) es

yY={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (xX)

donde ( x , y ) son las coordenadas de cualquier punto en la línea tangente, y donde la derivada se evalúa en $x=X$ . ^{[ 13 ]}

Cuando la curva está dada por y = f ( x ), la ecuación de la recta tangente también se puede encontrar ^{[ 14 ]} usando la división polinómica para dividir $f\,(x)$ por $(xX)^{2}$ ; si el resto se denota por $g(x)$ , entonces la ecuación de la recta tangente viene dada por

y=g(x).

Cuando la ecuación de la curva se da en la forma f ( x , y ) = 0, entonces el valor de la pendiente se puede encontrar mediante diferenciación implícita , dando como resultado

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.

La ecuación de la recta tangente en un punto ( X , Y ) tal que f ( X , Y ) = 0 es entonces ^{[ 13 ]}

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (xX)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (yY)=0.

Esta ecuación sigue siendo cierta si

{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,

en cuyo caso la pendiente de la tangente es infinita. Sin embargo, si

{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,

La línea tangente no está definida y se dice que el punto ( X , Y ) es singular .

Para curvas algebraicas , los cálculos pueden simplificarse un poco convirtiéndolas a coordenadas homogéneas . Específicamente, sea la ecuación homogénea de la curva g ( x , y , z ) = 0, donde g es una función homogénea de grado n . Entonces, si ( X , Y , Z ) se encuentra en la curva, el teorema de Euler implica ${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$ De ello se deduce que la ecuación homogénea de la recta tangente es

{\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.

La ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas se puede encontrar haciendo z = 1 en esta ecuación. ^{[ 15 ]}

Para aplicar esto a curvas algebraicas, escriba f ( x , y ) como

f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,

donde cada u _r es la suma de todos los términos de grado r . La ecuación homogénea de la curva es entonces

g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,

Aplicando la ecuación anterior y estableciendo z = 1 se obtiene

{\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0

como la ecuación de la recta tangente. ^{[ 16 ]} La ecuación en esta forma suele ser más sencilla de usar en la práctica, ya que no se necesita ninguna simplificación adicional después de aplicarla. ^{[ 15 ]}

Si la curva viene dada paramétricamente por

x=x(t),\quad y=y(t)

entonces la pendiente de la tangente es

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}

dando la ecuación para la línea tangente en $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ como ^{[ 17 ]}

{\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (yY)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (xX).

Si

{\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,

La recta tangente no está definida. Sin embargo, puede ocurrir que exista y que se pueda calcular a partir de una ecuación implícita de la curva.

Línea normal a una curva

La recta perpendicular a la recta tangente a una curva en el punto de tangencia se llama recta normal a la curva en ese punto. Las pendientes de las rectas perpendiculares tienen un producto de −1, por lo que si la ecuación de la curva es y = f ( x ), entonces la pendiente de la recta normal es

-1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}

y de ello se deduce que la ecuación de la recta normal en (X, Y) es

(xX)+{\frac {dy}{dx}}(yY)=0.

De manera similar, si la ecuación de la curva tiene la forma f ( x , y ) = 0 entonces la ecuación de la línea normal viene dada por ^[¹⁸^].

{\frac {\partial f}{\partial y}}(xX)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(yY)=0.

Si la curva viene dada paramétricamente por

x=x(t),\quad y=y(t)

entonces la ecuación de la línea normal es ^{[ 17 ]}

{\frac {dx}{dt}}(xX)+{\frac {dy}{dt}}(yY)=0.

Ángulo entre curvas

El ángulo entre dos curvas en un punto de intersección se define como el ángulo entre sus rectas tangentes en ese punto. Más específicamente, se dice que dos curvas son tangentes en un punto si tienen la misma tangente en ese punto, y ortogonales si sus rectas tangentes son ortogonales. ^{[ 19 ]}

Múltiples tangentes en un punto

La trisectrix limaçon: una curva con dos tangentes en el origen.

Las fórmulas anteriores fallan cuando el punto es singular . En este caso, puede haber dos o más ramas de la curva que pasan por el punto, cada una con su propia recta tangente. Cuando el punto es el origen, las ecuaciones de estas rectas se pueden hallar para curvas algebraicas factorizando la ecuación resultante de eliminar todos los términos excepto los de menor grado. Dado que cualquier punto puede convertirse en el origen mediante un cambio de variables (o trasladando la curva), esto proporciona un método para hallar las rectas tangentes en cualquier punto singular.

Por ejemplo, la ecuación de la trisectriz de limaçon que se muestra a la derecha es

(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,

Ampliando esto y eliminando todos excepto los términos de grado 2 se obtiene

a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,

que, al ser factorizado, se convierte en

y=\pm {\sqrt {3}}x.

Estas son, pues, las ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el origen. ^{[ 20 ]}

Cuando la curva no se autointersecta, la tangente en un punto de referencia puede no estar definida de forma única porque la curva no es diferenciable en ese punto, aunque sí lo sea en otros. En este caso, las derivadas izquierda y derecha se definen como los límites de la derivada cuando el punto donde se evalúa se aproxima al punto de referencia desde la izquierda (valores menores) o la derecha (valores mayores), respectivamente. Por ejemplo, la curva y = | x | no es diferenciable en x = 0: sus derivadas izquierda y derecha tienen pendientes respectivas de -1 y 1; las tangentes en ese punto con esas pendientes se denominan tangente izquierda y derecha. ^{[ 21 ]}

A veces, las pendientes de las rectas tangentes izquierda y derecha son iguales, por lo que las rectas tangentes coinciden. Esto sucede, por ejemplo, con la curva y = x² ^/³ , para la cual ambas derivadas, izquierda y derecha, en x = 0 son infinitas; ambas rectas tangentes tienen ecuación x = 0.

Línea tangente a una curva espacial

En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto dado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R ⁿ . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también se pueden describir en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el punto $x$ es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en $x$ .

círculos tangentes

Se dice que dos círculos distintos que se encuentran en el mismo plano son tangentes entre sí si se encuentran en un único punto.

Si los puntos en el plano se describen usando coordenadas cartesianas , entonces dos círculos , con radios $r_{1},r_{2}$ y centros $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ son tangentes entre sí cuando

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.

Dos círculos se denominan tangentes externamente si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios,

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.

o internamente tangentes si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios: ^{[ 22 ]}

\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.

Plano tangente a una superficie

El plano tangente a una superficie en un punto dado p se define de forma análoga a la recta tangente en el caso de curvas. Es la mejor aproximación de la superficie mediante un plano en p , y se puede obtener como la posición límite de los planos que pasan por 3 puntos distintos de la superficie cerca de p a medida que estos puntos convergen a p . (Un detalle técnico es que los tres puntos deben aproximarse a p desde al menos dos direcciones no paralelas. Más precisamente, dos de los tres vectores tangentes en p deben ser linealmente independientes). Matemáticamente, si la superficie está dada por una función $z=f(x,y)$ , la ecuación del plano tangente en el punto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ se puede expresar como:

$z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).$

Aquí, ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ y ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ son las derivadas parciales de la función $f$ con respecto a $x$ y $y$ respectivamente, evaluados en el punto $(x_{0},y_{0})$ En esencia, el plano tangente captura el comportamiento local de la superficie en el punto específico p . Es un concepto fundamental utilizado en cálculo y geometría diferencial, crucial para comprender cómo cambian las funciones localmente en las superficies.

Variedades de dimensiones superiores

De forma más general, existe un espacio tangente k -dimensional en cada punto de una variedad k -dimensional en el espacio euclidiano n- dimensional .

Véase también

Referencias

↑ En " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ( Acta Eruditorum , octubre de 1684), Leibniz parece tener una noción de las líneas tangentes desde el principio, pero luego afirma: "modo teneatur in genere, tangentem invenire esse rectam ducere, quae duo curvae puncta distantiam infinite parvam habentia jungat, seu latus productum polygoningini infinitanguli, quod nobis curvae aequivalet", es decir. define el método para dibujar tangentes a través de puntos infinitamente cercanos entre sí.
↑ Thomas L. Hankins (1985). Ciencia e Ilustración . Cambridge University Press. pág. 23. ISBN 9780521286190.
↑ Dan Sloughter (2000). " Mejores aproximaciones afines "
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1 2 Shenk, Al. "e-CALCULUS Sección 2.8" (PDF) . pág. 2.8 . Consultado el 1 de junio de 2015 .
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↑ Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficos polinomiales", Mathematical Gazette , noviembre de 2005, 466–467.
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↑ Edwards Art. 193
1 2 Edwards Art. 196
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↑ Thomas, George B. Jr., y Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica , Addison Wesley Publ. Co.: pág. 140.
↑ "Círculos para Matemáticas de Honor del Leaving Certificate por Thomas O'Sullivan 1997" .

Fuentes

J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co. págs. 143 y ss.

Enlaces externos

"Línea tangente" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Línea tangente" . MundoMatemático .
Tangente a un círculo con animación interactiva
Tangente y primera derivada : una simulación interactiva

[1] En " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ( Acta Eruditorum , octubre de 1684), Leibniz parece tener una noción de las líneas tangentes desde el principio, pero luego afirma: "modo teneatur in genere, tangentem invenire esse rectam ducere, quae duo curvae puncta distantiam infinite parvam habentia jungat, seu latus productum polygoningini infinitanguli, quod nobis curvae aequivalet", es decir. define el método para dibujar tangentes a través de puntos infinitamente cercanos entre sí.

[2] Thomas L. Hankins (1985). Ciencia e Ilustración . Cambridge University Press. pág. 23. ISBN 9780521286190.

[3] Dan Sloughter (2000). " Mejores aproximaciones afines "

[4] Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: an etymological dictionary of mathematical terms used in English . MAA spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. p. 217. ISBN 978-0-88385-511-9.

[5] Euclides. "Los Elementos de Euclides" . Consultado el 1 de junio de 2015 .

[Shenk-6] 1 2 Shenk, Al. "e-CALCULUS Sección 2.8" (PDF) . pág. 2.8 . Consultado el 1 de junio de 2015 .

[7] Katz, Victor J. (2008). Historia de las matemáticas (3.ª ed.). Addison Wesley. pág. 510. ISBN 978-0321387004.

[8] Wolfson, Paul R. (2001). "Lo torcido se endereza: Roberval y Newton sobre las tangentes". The American Mathematical Monthly . 108 (3): 206– 216. doi : 10.2307/2695381 . JSTOR 2695381 .

[9] Katz, Victor J. (2008). Historia de las matemáticas (3.ª ed.). Addison Wesley. págs. 512–514 . ISBN 978-0321387004.

[10] Noah Webster, American Dictionary of the English Language (Nueva York: S. Converse, 1828), vol. 2, pág. 733,

[11] Descartes, René (1954) [1637]. La geometría de René Descartes . Traducido por Smith, David Eugene ; Latham, Marcia L. Open Court. pág. 95.

[12] RE Langer (octubre de 1937). "René Descartes". American Mathematical Monthly . 44 (8). Mathematical Association of America: 495– 512. doi : 10.2307/2301226 . JSTOR 2301226 .

[E191-13] 1 2 Edwards Art. 191

[14] Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficos polinomiales", Mathematical Gazette , noviembre de 2005, 466–467.

[E192-15] 1 2 Edwards Art. 192

[E193-16] Edwards Art. 193

[E196-17] 1 2 Edwards Art. 196

[E194-18] Edwards Art. 194

[E195-19] Edwards Art. 195

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[21] Thomas, George B. Jr., y Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica , Addison Wesley Publ. Co.: pág. 140.

[22] "Círculos para Matemáticas de Honor del Leaving Certificate por Thomas O'Sullivan 1997" .

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