Espectro étale

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el espectro étale de un anillo conmutativo o de un anillo E _∞ , denotado por Spec ^ét o Spét, es un análogo del espectro primo Spec de un anillo conmutativo que se obtiene reemplazando la topología de Zariski con la topología étale .

El espectro primo usual Spec disfruta de la siguiente relación: para un esquema ( S , O _S ) y un anillo conmutativo A ,

${\displaystyle \operatorname {Hom} (S,\operatorname {Spec} (A))\simeq \operatorname {Hom} (A,\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$,

donde Hom a la izquierda es para morfismos de esquemas y Hom a la derecha para homomorfismos de anillos . Es decir, Spec es el adjunto derecho del functor de sección global.${\displaystyle (S,{\mathcal {O}}_{S})\mapsto \Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S})}$. Así pues, en términos generales, se puede (y normalmente se hace) definir simplemente el espectro étale Spét como el adjunto derecho del functor de sección global en la categoría de "espacios" con topología étale. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Sobre un cuerpo de característica cero , Behrend construye el espectro étale de un álgebra graduada llamada álgebra resolvente perfecta. ^{[ 3 ]} Luego define un esquema graduado diferencial (un tipo de esquema derivado ) como aquel que es localmente étale de dicho espectro étale.

Esta noción tiene sentido en la geometría algebraica usual, pero aparece con mayor frecuencia en el contexto de la geometría algebraica derivada .