Topología ética

En geometría algebraica , la topología étale es una topología de Grothendieck en la categoría de esquemas que posee propiedades similares a la topología euclidiana, pero a diferencia de esta, también se define en característica positiva . La topología étale fue introducida originalmente por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale , y este sigue siendo su uso más conocido.

Para cualquier esquema X , sea Ét( X ) la categoría de todos los morfismos étale de un esquema a X. Esta es la análoga a la categoría de subconjuntos abiertos de X (es decir, la categoría cuyos objetos son variedades y cuyos morfismos son inmersiones abiertas ). Sus objetos pueden considerarse informalmente como subconjuntos abiertos étale de X. La intersección de dos objetos corresponde a su producto fibrado sobre X. Ét( X ) es una categoría grande, lo que significa que sus objetos no forman un conjunto.

Un prehaz étale en X es un functor contravariante de Ét( X ) a la categoría de conjuntos. Un prehaz F se llama haz étale si satisface el análogo de la condición de pegado usual para haces en espacios topológicos. Es decir, F es un haz étale si y solo si se cumple la siguiente condición. Supongamos que U → X es un objeto de Ét( X ) y que U _i → U es una familia conjuntamente sobreyectiva de morfismos étale sobre X . Para cada i , elijamos una sección x _i de F sobre U _i . La aplicación de proyección U _i × U _j → U _i , que es en sentido amplio la inclusión de la intersección de U _i y U _j en U _i , induce una aplicación de restricción F ( U _i ) → F ( U _i × U _j ) . Si para todo i y j las restricciones de x _i y x _j a U _i × U _j son iguales, entonces debe existir una única sección x de F sobre U que se restrinja a x _i para todo i .

Supongamos que X es un esquema noetheriano . Un haz étale abeliano F sobre X se denomina finito localmente constante si es un functor representable que puede representarse mediante una cubierta étale de X. Se denomina constructible si X puede cubrirse mediante una familia finita de subesquemas en cada uno de los cuales la restricción de F es finito localmente constante. Se denomina torsión si F ( U ) es un grupo de torsión para todas las cubiertas étale U de X. Los haces finitos localmente constantes son constructibles, y los haces constructibles son de torsión. Todo haz de torsión es un límite inductivo filtrado de haces constructibles.

Grothendieck introdujo originalmente la maquinaria de las topologías y topoi de Grothendieck para definir la topología étale. En este lenguaje, la definición de la topología étale es sucinta pero abstracta: es la topología generada por la pretopología cuyas familias de recubrimiento son familias sobreyectivas conjuntas de morfismos étales. El sitio étale pequeño de X es la categoría O ( X _ét ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo étale fijo U → X . Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con las aplicaciones fijas a X . El sitio étale grande de X es la categoría Ét/ X , es decir, la categoría de esquemas con una aplicación fija a X , considerada con la topología étale.

La topología étale se puede definir utilizando datos ligeramente menores. Primero, observe que la topología étale es más fina que la topología de Zariski. En consecuencia, para definir una cubierta étale de un esquema X , basta con cubrir primero X con subesquemas afines abiertos, es decir, tomar una cubierta de Zariski, y luego definir una cubierta étale de un esquema afín. Una cubierta étale de un esquema afín X se puede definir como una familia conjuntamente sobreyectiva { u _α  : X _α → X } tal que el conjunto de todos los α es finito, cada X _α es afín y cada u _α es étale. Entonces, una cubierta étale de X es una familia { u _α  : X _α → X } que se convierte en una cubierta étale después de cambiar la base a cualquier subesquema afín abierto de X.

Sea X un esquema con su topología étale, y fijemos un punto x de X. En la topología de Zariski , el tallo de X en x se calcula tomando un límite directo de las secciones del haz de estructura sobre todos los entornos abiertos de Zariski de x . En la topología étale, hay estrictamente más entornos abiertos de x , por lo que el análogo correcto del anillo local en x se forma tomando el límite sobre una familia estrictamente mayor. El análogo correcto del anillo local en x para la topología étale resulta ser la henselización estricta del anillo local.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$. Generalmente se denota${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}^{\text{sh}}}$.

• Para cada morfismo étale${\displaystyle U\to X}$, dejar${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(U)={\mathcal {O}}_{U}(U)^{\times }}$. Entonces${\displaystyle U\mapsto \mathbb {G} _{m}(U)}$es un prehaz en X ; es un haz ya que puede representarse mediante el esquema${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {O}}_{X}[t,t^{-1}])}$.

Sea X un esquema. Una cobertura étale de X es una familia.${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to X\}_{i\in I}}$, donde cada${\displaystyle \varphi _{i}}$es un morfismo étale de esquemas, tal que la familia es conjuntamente sobreyectiva, es decir,${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(U_{i})}$.

La categoría Ét( X ) es la categoría de todos los esquemas étale sobre X. La colección de todos los recubrimientos étale de un esquema étale U sobre X, es decir, un objeto en Ét( X ), define una pretopología de Grothendieck en Ét( X ) , que a su vez induce una topología de Grothendieck , la topología étale en X. La categoría junto con la topología étale en ella se denomina sitio étale en X.

El étale topos${\displaystyle X^{\text{ét}}}$de un esquema X es entonces la categoría de todos los haces de conjuntos en el sitio Ét( X ). Dichos haces se denominan haces étales en X. En otras palabras, un haz étale${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un functor ( contravariante ) de la categoría Ét( X ) a la categoría de conjuntos que satisface el siguiente axioma de haz:

Para cada étale U sobre X y cada étale que cubre${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to U\}}$de U la secuencia

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{ij})}$

es exacto , donde${\ Displaystyle U_ {ij} = U_ {i} \ times _ {U} U_ {j}}$.

• Topología de Nisnevich
• Topología suave
• haz ℓ-ádico
• Espectro étale

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007/bf02684747 . SEÑOR 0173675 . 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi : 10.1007/bf02732123 . SEÑOR 0238860 . 
• Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  270. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.  iv+418. doi : 10.1007/BFb0061319 . ISBN 978-3-540-06012-3.
• Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi  +640. doi : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2.
• Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale . Notas de clase de matemáticas (en francés). Vol.  569. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . pp.  iv+312. doi : 10.1007/BFb0091516 . ISBN 978-3-540-08066-4.
• JS Milne (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
• JS Milne (2008). Conferencias sobre cohomología de Étale